Relaciones y funciones

Cap´
ıtulo 2
Relaciones y Funciones
2.1.

Producto Cartesiano

Definici´n
o
El producto cartesiano de A y B, se define por
A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}
A y B conjuntos dados , A × B se lee A cruz B
(a, b) es un par ordenado, recuerde que a es el primer elemento del par y b es
el segundo, en consecuencia (a, b) = (b, a)
N´mero de elementos
u
Sea m el n´ mero de elementos de A (esdecir su cardinalidad) y n el n´ mero
u
u
de elementos de B, entonces mn es el n´ mero de elementos de los productos
u
A×B y B×A
Gr´fico
a
Como los elementos de A × B son pares ordenados se acostumbra graficar
dicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares, es decir

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Luis Zegarra

Relaciones y funciones

33

y
elementos
de b
(a,b)

b

elementos
de a
0

xa

Figura 2.1: Sistema de coordenadas

Ejemplo1
Los gr´ficos siguientes representan a ciertos productos cartesianos dados.
a
Notemos que en el caso de la figura 2.2 el n´ mero de elementos de AxB es
u
finito (en este caso 7), en tanto que en los casos de las figuras 2.3 y 2.4 dicho
n´ mero es infinito.
u
y

y

y

x
x
x

.

x
x

0

x

x
x

Figura 2.2

0

Figura2.3

x

0

Figura 2.4

Propiedades 1
1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
3. A × (B − C) = (A × B) − (A × C)

2.2.

Relaciones

Definici´n
o
R es una relaci´n de A en B si y solo si: R ⊆ A × B.
o
As´ notemos que los elementos de una relaci´n son pares ordenados.
ı,
o

x

Luis Zegarra

Relaciones y funciones

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Notaci´n
o
1. R esuna relaci´n de A en B, tambi´n se denota por R : A → B
o
e
2. Si el par (x, y) pertenece a la relaci´n R, se acostumbra a denotar por
o
(x, y) ∈ R ∨ xRy ∨ y = R(x)
Dominio y Recorrido
Sea R ⊆ A × B una relaci´n, se definen:
o
Dominio de R por el conjunto
Dom R = {x ∈ A/∃y ∈ B : (x, y) ∈ R}
Recorrido de R por el conjunto
Rec R = {y ∈ B/∃x ∈ A : (x, y) ∈ R}
Es claro que Dom R ⊆ A y queRec R ⊆ B
Ejemplo 2
Sea R : A → A una relaci´n, donde A={1, 2, 3..., 10} dada por
o
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (7, 6)}
esta relaci´n tiene un n´ mero finito de elementos. Note que: Dom R={1,2,7}
o
u
y Rec R={1,2,3,4,5,6}
Ejemplo 3
Sea S : R → R , definida por
S = {(x, y)/x + 2y = 12}
esta es una relaci´n con infinitos elementos y que Dom S = Rec S = R
o
Ejemplo 4
SeaS : Z → Z , definida por
(x, y) ∈ S ⇔ x2 + y 2 = 1
N´tese que x e y son enteros por tanto esta relaci´n solo consta de 4 elementos,
o
o
que son: (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1), donde Dom S = {−1, 0, 1} = Rec S
En este mismo ejemplo si en lugar de Z se toma R la relaci´n contiene infinitos
o
pares ordenados y
Dom S = {x ∈ R/ − 1 ≤ x ≤ 1}
Rec S = {y ∈ R/ − 1 ≤ y ≤ 1}

Luis ZegarraRelaciones y funciones

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Definici´n
o
Sean R : A → B y S : B → C dos relaciones. Se define la composici´n de
o
R con S, que se denota por S ◦ R, como
S ◦ R = {(x, y)/∃z ∈ B : (x, z) ∈ R ∧ (z, y) ∈ S}
Ejemplo 5
Sean A={1,2,3,4,5} , B={1,2,3} y C={1,4,5,8} y R={(1,2),(3,2),(4,1)} y
S={(2,1),(3,1),(2,4),(3,5)} Note que (1,2) ∈ R ∧ (2,1) ∈ S ⇒ (1,1) ∈ S ◦ R.
As´ se obtiene que S ◦R={(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)}
ı
Ejemplo 6
Sean R y S relaciones en R, definidas por
R = {(x, y)/y = 2x + 1}
S = {(x, y)/x2 = y}

as´ (x, y) ∈ SoR ⇔ ∃ z ∈ R : (x, z) ∈ R ∧(z, y) ∈ S ⇔ z = 2x + 1 ∧ y = z 2
ı,
de donde y = (2x + 1)2 , luego
S ◦ R = {(x, y)/y = (2x + 1)2 }
Propiedades
Sea R : A → A una relaci´n, se define las siguientes propiedades
o
1. Refleja ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R
2. Sim´trica x, y ∈ A: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
e
3. Transitiva x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
4. Antisim´trica x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y
e
5. Irrefleja ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R
/
Definici´n
o
Sea R : A → A una relaci´n
o
1. Se dice que R es una relaci´n de equivalencia si y solo si, es: Refleja,
o
Sim´trica y Transitiva.
e
2. Se dice que R es una relaci´n de orden parcial...