Relaciones Y Funciones

Relaciones y Funciones
Genaro Alberto Gómez Chi 1. 2. 3. 4. Introducción Relaciones y funciones Aplicaciones de las funciones reales Bibliografía

INTRODUCCIÓN
El estudio del tema de funciones es básico para lograr comprender muchos otros temas que se irán viendo más adelante en el curso de matemática, además es importante porque se le puede dar muchos usos en la “vida diaria” ya quegeneralmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física,de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

RELACIONES Y FUNCIONES
Para empezar a hablar de lo que son las relaciones y funciones es necesario empezar a hablar sobre el Par Ordenado (PO), y ¿por qué la importancia de de saber la definición de para ordenado? La importancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) conque a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemática clásica. La fecunda utilización del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia todo comentario: 1.- Producto Cartesiano 2.- Relación 3.- Relación Unívoca 4.- Función 5.- Relación de Equivalencia 6.- Relación de Orden 7.- Número Natural 8.- Número Entero 9.- Número Fraccionario10.- Estructura Métrica 11.- Número Real 12.- Numero Complejo 13.- Estructura Algebraicas 14.- Leyes de Composición 15.- Estructura Lineal (Vectorial) 16.- Coordenadas Cartesianas 17.- Grafos 18.- Etc. A. PAR ORDENADO (PO) Se llama Par Ordenado o dupla al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos conjuntos, su símbolo es (x y): 1.- el conjunto {x y} que es un par simple 2.- el conjunto {x}de un único elemento


Definición: (x y):= {{x y} {x}} (x y): Par Ordenado (PO) x: Primer elemento del PO (Primera componente del PO) y: Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO) Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} (x y) Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO,porque los números todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se define a partir del PO. B. TEOREMAS DE PO

T1.- (x y) = (a b) TCR T1.- (x y) ≠ (a b) ⇔ x ≠ a T2.- (x y) = (y x) x≡y x≠y y≠b

TCR T2.- (x y) ≠ (y x) T3.- Def PO (x x) = {{x}}

C. TERNAS La definición de Par Ordenado se puede generalizar para el caso de tres componentes (ternas) o más componentes, en general paran componentes (nuplas): Definición: (x y z):= {{x y z} {x y} {x}} (x y z): Terna x: Primer elemento de la terna y: Segundo elemento de la terna z: Tercer elemento de la terna Obs: Si se hubiera definido la terna por la proposición (x y z):= ((x y) z) (definición no válida) se habría tomado un conjunto de conjuntos de diferentes niveles (x y z):= {{(x y) z}, {(x y)}}:= {{{{x y} {x}} z}, {{{x y}{x}}}} lo cual es erróneo. D. NUPLAS Definición: (x1 x2 … xn ) := { { x1 x2 … xn } ... { x1 x2 } { x1} } (x1 x2… xn): Nupla xi: i-enésimo componente de la nupla

Nupla De 1 Elemento A fin de generalizar el concepto de nupla para todo valor de n ≥ 1 se define también para el caso de n =1 Def: (x):= {{x}} Obs: Nótese que del T3 resulta (x x):= {{x}}

RELACIÓN (R) Se llama Relación en AxB a todoSubconjunto no vacío del Producto Cartesiano AxB



Def: R

Relación AxB: = R

AxB, R ≠ R}

R (AxB):= S (AxB):= {(x y): (x y) R: Relación AxB:= R AxB, R ≠ S (AxB): Gráfica de R (AxB)

A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano B: Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano Se define además algunos elementos destacados de la Relación en AxB Def:...