relaciones y funciones



INTRODUCCION
En este trabajo se pretende mostrar las diferentes relaciones y funciones en las matemáticas discretas, las relaciones son muy importantes en matemáticas y sobretodo en computación, pues vienen a ser una herramienta fundamental en Bases de Datos, Programación, etc.; casi en cualquier tópico de una u otra forma se utiliza el concepto de relación. El término relación es muyamplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple y entendiendo el concepto se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea. Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar unarelación como un conjunto de pares ordenados. Esto se puede extender posteriormente a tuplos para definir relaciones de varios elementos. Definición. A x B = {(a,b) : a ε A, b ε B } Ejemplo: A= {1,2,5}, B = {2,3} A x B = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(5,2),(5,3)}
Decimos que una relación es una función si para cada elemento del primer conjunto existe una única imagen. Si cada elemento del segundoconjunto es imagen de alguien, entonces la función es Sobreyectiva. Si cada elemento del segundo conjunto es, a lo sumo, imagen de un elemento del primer conjunto, entonces la función es Inyectiva. Si una función es sobreyectiva e inyectiva, entonces es Biyectiva. En muchas ocasiones a cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento particular de un segundo conjunto. Definición 1. Sean A yB conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Escribimos f (a)=b si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de f:A B A. Si f es una función de A en B, y se escribe 1 








4.1 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en suselementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M, muchos-a-uno M-1 o muchos-a-muchos M-M. Recordemos que una relación es un conjunto de pares ordenados. Definición: Una relación R de A a B es: Muchos-a-uno, M-1 si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es existen (x,y), (z,y) distintas en la relación. Uno-a-muchos 1-M si existen dos pares con el mismo primer elemento, esto es existen (x,y),(x,z) distintas en la relación. Muchos-a-muchos M-M si es muchos-a-uno y uno-a-muchos. O sea que hay al menos dos pares con el mismo primer elemento y también hay dos pares con el mismo segundo elemento. O sea que cumple las dos definiciones anteriores. Uno-a-uno 1–1 si no es muchos-a-uno ni uno-a-muchos, o sea que no hay dos pares con el mismo primer elemento y no hay dos pares con el mismosegundo elemento. Esto significa que cumple la condición siguiente. Representación matricial: Una relación entre dos conjuntos A y B puede ser representada por una matriz binaria, que consiste en 0′s y 1′s. Asociamos cada elemento del primer conjunto A con un renglón de la matriz y cada elemento del segundo conjunto B con una columna de la matriz. Los elementos deben estar ordenados. En elcorrespondiente lugar del renglón y columna asociada a un par de elementos el valor es 1 si el par ordenado está en la relación y 0 si el par no está. Ejemplo: Si A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3} y la relación R = {(a,2), (a,3), (b,1), (d,2)} entonces la matriz es

4.2 CERRADURA
En muchas ocasiones una relación no cumple alguna de las propiedades de equivalencia, pero hay relaciones que la incluyen y que sícumplen la propiedad. De todas las relaciones la menor posible se llama su cerradura. Definición. Sea R una relación en un conjunto A Una cerradura reflexiva ref(R) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva. Una cerradura simétrica sim(R) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es simétrica, con símbolos: Una cerradura transitiva trans(R) de R en A es la...