repaso de integracion

Unidad 3. Técnicas de integración

Objetivo

Que el alumno entienda técnicas de integración: cambio de variable, sustitución en integrales indefinidas, integración de funciones racionales, integración por partes y integración definida.


Nuestro cuaderno incluye todas las funciones elementales. Estas son: la función constante, la de potencias, la logarítmica y la exponencial, lastrigonometriítas directas y inversas y todas las que obtienen a partir de ellas mediante adición, sustracción, multiplicación, división y composición.
Las dos principales técnicas de integración son la sustitución y la integración por partes.
En este párrafo revisaremos el método y lo aplicaremos a una amplia variedad de situaciones.

3.1. Cambio de variable

A menudo la integración directaresulta complicada, sin embargo existe la técnica llamada cambio de variable que nos permite pasar de una integral complicada a una sencilla. Ilustremos esto con un ejemplo. Supongamos que la integral que queremos calcular es de la forma

Es decir, hay una composición de funciones, y además aparece la derivada de la primera función que se compone. En un ejemplo más concreto, observe lasiguiente expresión

donde claramente la derivada de la cantidad subradical es precisamente cos x. Pues bien, si tenemos una integral como en integral anterior hacemos el siguiente reemplazo

de tal modo que si derivamos esta igualdad nos, tenemos que

Y de este modo reemplazamos dos últimos expresiones en la integral y obtenemos lo siguiente

que es una integral en la variable u, yentendiendo que esta nueva integral es sencilla de calcular. Es decir

En el ejemplo anterior, se tiene

3.2. Sustitución en integrales indefinidas

Supóngase que se topa con una integración indefinida. Si es una forma estándar , basta con escribir la respuesta. Si no, búsquese una sustitución que la transforme en la estándar. Si la primera sustitución que intente no funciona, busqueotra. Adiestrarse en esto, como en la mayoría de las actividades que valen la pena, depende de la práctica.














EJEMPLOS











REGLA DE POTENCIAS para n= -1






EJEMPLOS
























EJEMPLOS

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3.3. Integración de funciones racionales








Si f(x) es impropia divida numerador entre denominador.

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(El resultado se obtiene mediante una división sintética)

Dado que lospolinomios son fáciles de integrar, el problema de integrar funciones racionales se reduce en realidad, a las racionales propias. Pero, ¿siempre se podrá integrar una función racional propia? En teoría, la respuesta e afirmativa, auque los detalles prácticos pueden llegar a abrumarnos.

Factorice denominador en un producto de factores lineales o cuadráticos irreducibles con coeficientes reales. Porun teorema de álgebra, esto siempre es posible.

42) Encuentre , piense la sustitución u = x+1



43) la sustitución para cual du=(2x-4)dx

Después escriba la integral dada como una suma de dos integrales




3.4. Descomposición de fracciones parciales

Sumar fracciones es un ejercicio algebraico estándar. Lo que nos interesa ahora es procesoinverso, descomponer una fracción en la suma de otras mas simples.

Factorice denominador en un producto de factores lineales o cuadráticos irreducibles con coeficientes reales. Por un teorema de álgebra, esto siempre es posible.

Factores lineales distintos

43) Descomponga y encuentre después la integral indefinida



nuestro trabajo, por supuesto, consiste en determinar A y B:...