Reporte De Química

MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN

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MAT4

EJERCICIOS DE MODELADO

1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o general de éste.ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver. Datos: Población inicial: Población para t = 0 es:

P0 P(0 ) = P0

Población se duplico en cinco años: P(5) = 2 P0 P(t ) = 3P0 P(t )= 4P0

Interrogantes:

(a) ¿en cuánto tiempo se triplicara? (b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara?

iii)

Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación diferencial, basados en el enunciado del problema. Debido a que el problema plantea aumento en la población el modelo matemático a utilizar es el correspondiente a crecimiento y decaimiento:

dP = kP dt
Donde k es laconstante de proporcionalidad.

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iv)

Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas, Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. es lineal, pero también se puede resolver por variables separables. Entonces, resolviéndola por variables separables, se tiene: a) Separando variables, tenemos:

dP =kP dt dP = kPdt dP = kdt P
b) Integrando ambos miembros y luego reduciendo, se tiene:

dP ∫ dt = k ∫ dt
ln P = kt + C e ln P = e kt +C P = e kt e C P = Ce kt
Puede observarse que en la solución general hay dos parámetros (constantes), cuyo valor numérico hay que hallar utilizando las condiciones iniciales (datos) del problema.

v)

Hallar el valor numérico de la constante de integracióny/o la constante de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos). a) Evaluando en: P(0 ) = P0

P0 = Ce k (0 ) P0 = Ce 0 P0 = C P0 = C (1)

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b)

Evaluando en: P(5) = 2 P0

2 P0 = P0 e k (5 ) 2 P0 = e 5k P0 ln 2 = ln e 5 k ln 2 = 5 k ln 2 = k 5 0 . 1386 = k
Tenemos que C = P0 ∧ k = 0.1386 ≈ 0.14vi) Escribir la Solución Particular. Sustituir los valores encontrados de C y k en la solución general para tener la solución particular con la que se responderán a las interrogantes:

P (t ) = P0 e 0.14 t
Nota: Si bien en la solución particular se ha sustituido k por 0.14, al momento de hacer operaciones utilizando su calculadora usar todos los decimales. vii) Responder a las interrogantes delproblema. a) ¿en cuánto tiempo se triplicara? Evaluar en: P(t ) = 3P0

3 P 0 = P 0 e 0 . 14 t 3 P0 = e 0 . 14 t P0 ln 3 = ln e 0 . 14 t ln 3 = 0 . 14 t ln 3 = t 0 . 14 7 . 9248 = t
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Se triplicará en t = 7.92 años b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara? Evaluar en: P(t ) = 4P0

4 P0 = P0 e 0 . 14 t 4 P0 = e 0 . 14 tP0 ln 4 = ln e 0 . 14 t ln 4 = 0 . 14 t ln 4 = t 0 . 14 10 = t
Se cuadruplicará en t = 10 años

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2. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es 5º F. Después de un minuto, el termómetro indica 55º F; cinco minutos después marca 30º F. ¿Cuál era la temperaturadel interior? i) ii) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o general de éste. Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver. Datos: Temperatura del aire...