Resistencia de los materiales

Momento polar de inercia
Un concepto importante que no se debe dejar pasar es el del Momento Polar de Inercia, el cual consiste en el Momento de Inercia respecto a un punto, es decir respecto al cruce de los ejes, siendo los más importantes los centroidales.
Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión del objeto, en los objetos (o segmentos de los objetos) con uninvariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones.
Cabe destacar
-Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par.
-Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión.
-Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia,que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
-El SI la unidad de momento polar de inercia, como el momento en la zona de la inercia, es metro a la cuarta potencia (4m).

Aplicación
El momento polar de inercia aparece en las fórmulas que describen torsional la tensión y el desplazamiento angular.
-El estrés de torsión: Donde


T es el par, r es la distanciadesde el centro y J z es el momento polar de inercia.
En un eje circular, el esfuerzo cortante es máximo en la superficie del eje (ya que es donde el par es máximo):

Modulo de rigidez de un material
La deformación elástica de los solidos es limitada. La deformación producida en un solido al aplicar un esfuerzo desaparece totalmente cuando este esfuerzo se elimina. La relación entre esfuerzoy deformación (lineal en algunos materiales, pero muy lejos de serlo en otros) puede relacionarse cualitativamente con estructuras y tipo de enlace atómico presentes. Esta relación de esfuerzo y deformación depende también de la temperatura, y en el caso de monocristales que han sido deformados previamente, en dirección cristalográfica.
Todos los materiales cambian su forma, volumen o ambos,bajo la influencia de un esfuerzo o un cambio de temperatura. Decimos que la deformación es elástica si el cambio en forma o volumen producido por un esfuerzo o la temperatura se recupera totalmente cuando se permite al material regresar a su temperatura o sistema de esfuerzo originales. En sustancias cristalina la reacción entre esfuerzo y deformación en la región lineal, donde la figura 2.5a espara la porción lineal de la curva de esfuerzo contra deformación en tencion, mientras que los materiale no cristalinos con molecula de cadena largas exhiben generalmente comportamientos elásticos no lineales (figura 2.5b%).

Ley de Hooke para Torsión

De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en elrango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.

De forma matemática, podemos expresar dicha relación como sigue:


Donde “t” es el esfuerzo cortante, “g” es la deformación cortante y “G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad (“E”) de la siguiente forma:


Siendo “n” el módulo de Poisson.

Relación entre torsor, potencia yvelocidad angular

Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principal de estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en que éstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en conjunto con poleas y correas ó con engranajes.


En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relaciones principalmente. La primera, es la expresiónmatemática que indica la potencia que comunica un eje ó una polea:

Donde P es la potencia transmitida, “w” es la velocidad angular y “T” el torsor al que está sometido el eje, la polea ó el engranaje.
También se utilizará la relación de transmisión (“m”), que se define como la proporción de velocidad ó torque que existe entre el sistema conductor y el conducido:

La relación de transmisión...