Resumen Logica Matematica

Lógica Matemática

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Capitulo I: Introducción.
I.1 Marco de referencia. Lenguajes naturales y artificiales. Uso y mención. Metalenguaje. Etc.
I.2 Antecedentes históricos de la lógica matemática. (Aristho,Leibniz,Boole,Russel,...)
I.3 Breve resumen del contenido del texto.

Capitulo II: Lógica de proposiciones.

(pág.1)

Relativo a un criterio de validación, unsistema axiómatico debe cumplir las siguientes propiedades:
- Debe ser lógico o razonable (todo teorema es una tautología).
- Completo (Toda sentencia bién formada válida es teorema y debe poder demostrarse con los axiomas)
(Toda tautología es un teorema)
- Consistente (No se pueden demostrar como teoremas sentencias bien form.que no sean tautologías,
así, si una sent.bién formada es un teorema,su negación no lo es) (todo teorema es una tautología)
- Axiomas y reglas de transformación deben ser independientes (ninguno de ellos debe ser deribable a
partir de los otros)

II.1 Introducción. Fórmula sentencial (sentencia) bien formada.
II.2 El lenguaje para la lógica de proposiciones.

II.5.3 Ejemplos de demostraciones.

II.2.1 Sintaxis. Símbolos: -de veracidad: (V, F). -derepresentación de var.(p,q,r...). -conjunciones o
conectivas (¬, ∧, ∨, ⊕, →, ↔). -de puntuación ( ).

Inferencia: “Procesos mediantes loa cuales obtenemos una conclusión a partir de unas premisas de
forma que el razonamiento sea válido”. Regla de inferencia: “declaración de las condiciones bajo las
cuales se puede hacer una inferencia, así como el resultado de la misma”.
Inferencia correcta: la quesigue las reglas “de S→ R y de ¬R deducimos que ¬S”.
Falacia de negar el antecedente: (Inferencia) negar el antecedente de una premisa condicional para
concluir con la negación del consecuente. (De S → R y de ¬S deducimos que ¬R)
Falacia de afirmar el consecuente: (Inferencia) afirmar el consecuente de una premisa condicional
para deducir la afirmación del antecedente. (De S → R y de Rdeducimos S).
Conclusión = Consecuencia lógica de las premisas.

1.Reglas de formación.
1-Una variable proposicional es una sentencia bién formada.
2-Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
3-Dos sentencias bien formadas unidas por una conectiva binaria, constituye una sentencia bien
formada.
2.Conectivas. Singulares (¬, No) y Binarias:
-Conjunción (∧,y)
-Disyunción inclusiva (∨,o)
-Disyunción exclusiva (⊕, o... o... pero no ambas)
-Condicional (→, si ... entonces ...); .
-Bicondicional (↔, ... si y sólo si ...).
[-Condicional ampliado (conectiva de 3 sentencias) ( si ... entonces ... si no ...)]
II.2.2 Semántica. Interpretación (asignación de valor a variables proposic.)

1.Tablas de verdad.
p
q
¬p

p∧q

p∨q

p⊕q

p →q

p↔q

V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
2.Equivalencia. (≡) (tablas de verdad iguales). Reflexiva,simétrica y transitiva. Clases de equival.
3.Tautologías y contradicciones. Si todos los valores de la tabla de verdad son:
1)Verdaderos→ Tautología. 2)Falsos→Contradicción. 3)Ambos→Sentencias de tipo indeterminado.

II.3 Validación desentencias proposicionales.
II.3.1 Validación mediante tablas de verdad. (Bueno para pocas variables).
II.3.2 Validación mediante árboles semánticos.
II.3.3 Validación mediante refutación. (Suposición de que la sentencia es falsa)

II.4 Leyes de la lógica de proposiciones. Tautologías especialmente útiles:

1)Ley de identidad: (p→p, p↔p).
2)Ley de la doble negación: (p↔ ¬¬p).
3)Ley deltercio excluso: (p ∨ ¬p siempre será V).
4)Ley de contradicción: ¬(p ∨ ¬p siempre será F).
5)Leyes de Morgan: ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) ; ¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q).
6)Ley de reducción al absurdo: [¬p → (q ∧ ¬q)] ↔ p.
7)Leyes de conmutación: (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) ; (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) ; (p ↔ q ) ↔ (q ↔ p)
8)Leyes de asociación: [(p∨q)∨r]↔[p∨(q∨r)] ; [(p∧q)∧r]↔[p∧(q∧r)] ; [(p↔q )↔r]↔[p↔(q↔r)]
9)Leyes de...