Resumen Procesamiento Digital De Senales

1. Explique exhaustivamente y convincentemente, en no más de dos páginas, y con sus propias palabras, el concepto de Respuesta de Sistemas LTI a exponenciales complejas. Ilustre su explicación con un ejemplo detallado y que sea de su propia creación.

Recordemos primero, algunas características básicas de los sistemas LTI. Estos sistemas se caracterizan principalmente, porque nos permitenrepresentar un gran conjunto de señales a partir de la combinación lineal de señales básicas, que en este caso son las exponenciales complejas, que engloban a las senoidales. A partir de esto vemos la importancia del análisis de la respuesta de los sistemas LTI a exponenciales complejas. Antes se dedujo, que estos sistemas responden de manera especial a este tipo de señales y se dijo que lo queproducían en ellas era un cambio de amplitud y fase únicamente, por lo que eran un conjunto muy poderoso de análisis, ya que nos permitía conocer de manera detalla el comportamiento del sistema.


De ahí viene que estudiar los sistemas LTI a través de exponenciales complejas sea tan ventajoso, especialmente, considerando las características ya mencionadas:
i. Permiten construiruna gran gama de señales, a partir de su combinación lineal.
ii. Su respuesta a los sistemas LTI es lo suficiente sencilla como para poder representar la respuesta del sistema a una señal construida a partir de dichas exponenciales.


De todo esto, viene la importancia de trabajar con series y transformadas de Fourier, ya que su desarrollo y herramientas de análisis trabajan coneste tipo de exponenciales.


De todo lo mencionado anteriormente, es importante destacar que la respuesta de un sistema LTI a una exponencial compleja solo produce un cambio en amplitud y fase. Si analizamos los dos casos, continuo y discreto, obtenemos una representación de la siguiente forma:


[pic]


Donde s y z son números complejos. De lo anterior vemos que H(s) y H(z) serán losfactores que modifiquen las exponenciales de entrada. Se podría decir que solo cambia su amplitud debido a la multiplicación por un factor, pero al considerar a este factor como un complejo (puede que no siempre sea el caso), vemos que ahí va implícito el cambio en la fase. Al tipo de señal que a la salida de un sistema es multiplicada por un factor, es decir se ve afectada por un factor, se leconoce como eigenfunction (función propia) del sistema, y al factor se le conoce como eigenvalue (valor propio) del sistema.

Ahora demostremos que las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI. Se resolverá para el caso continua y por analogía se concluirá en el caso discreto.


Partamos de considerar un sistema cuya respuesta al impulso h(t) tiene entrada una señal dela forma:
[pic]
Como nosotros sabemos, la salida de este sistema para esta entrada se puede determinar a través de la convolución, la cual matemáticamente para el caso contínuo se evalúa mediante la integral de convolución, la cual tiene la siguiente forma:
[pic]
Y sustituyendo nuestra entrada x(t) en la ecuación, y trabajando matemáticamente la expresión resultante, obtenemos:[pic]


Ahora, suponiendo que la integral anterior converge, pues es el único caso para el cual existe la convolución, podemos concluir que la salida de nuestro sistema tiene la siguiente forma característica:
[pic]
A partir de la cual podemos ver que H(s) es un valor complejo función de s, y que por lo tanto es una función propia de los sistemas LTI, y al evaluarse para un s dado,es el valor propio asociado a dicha función propia.


Al ampliar este resultado al caso discreto, y partiendo del supuesto que la entrada es de la forma:
[pic]
Concluimos a través de un procedimiento análogo, solo que utilizando ahora la suma de convolución, se llega al resultado que:
[pic]


Y por lo tanto las funciones exponenciales complejas discretas son funciones propias...