Resumen Química General

Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a

Universidad de Chile

´
MA1102-4 Algebra lineal
Profesor: Felipe C´l`ry
ee
Auxiliar: Benjam´ Ruiz
ın

Resumen Control 2
Mucho ´xito
eSea A =

a
c

b
d

, el determinante de A (|A|), se define como:

|A| =

a
c

b
d

= ad − bc





x1
y1
Sean x, y ∈ R3 , x = x2 , y = y2 , se define el producto cruzentre x e y (x × y ) como
x3
y3

x×y =

ˆ
i
x1
y1

ˆ
j
x2
y2

ˆ
k
x3

x
=ˆ 2
i
y2

x3
y3

x1
−ˆ
j
y1

x3
y3

ˆ
+k

x1
y1

y3

x2
y2



x2 y3 − x3 y2
=x3 y1 − x1 y3 
x1 y2 − x2 y1

Sea una recta L : p + dα, α ∈ R, un plano Π : p + d1 α + d2 β, α, β ∈ R y un punto x ∈ R3 , entonces
• La proyecci´n ortogonal de x sobre L es
o
Q=p+

x − p, d
d||d||2

Q=x+

p − x, n
n
||n||2

• La proyecci´n ortogonal de x sobre Π es
o

donde ||a||2 = a, a y n es un vector normal al plano Π, por ejemplo n = d1 × d2 .
Sea (V, +) un grupoabeliano, (K, +, ·) un cuerpo, y una ley de composici´n externa, diremos que V es un
o
espacio vectorial sobre K si se cumple que ∀α, β ∈ K, x, y ∈ V :
i)
ii)
iii)
iv)

(α + β )x = αx + βx
α(x + y) = αx + αy
α(βx) = (αβ )x
1K x = x

Si H es subconjunto de V no vac´ entonces diremos que H es un subespacio vectorial, si y solo si:
ıo,
∀α ∈ K, ∀u, v ∈ H, αu + v ∈ H
Sea {vi }n ⊆ V , diremosque son linealmente independientes si
i=1
n

λi vi = 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, ..., n
k=1

Sea V un e.v. sobre K, diremos que {v1 , ..., vn } es un conjunto generador de V si {v1 , ..., vn } = V , esdecir
n

(∀v ∈ V )(∃{λi }n ) tal que v =
i=1

λi v i
i=1

1

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ısicas y Matem´ticas
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Universidad de Chile

Sea V un e.v. sobre K, diremos que {v1 , ..., vn }es una base de V si y solo si cumple que
• {v1 , ..., vn } genera a V
• {v1 , ..., vn } es un conjunto li
Sea un e.v. V sobre K, y sea B una base de V , entonces la dimensi´n de V ser´ Dim(V,...