Resumen sobre unidad ii de matemàticas iii

2.4 Longitud de arco en forma paramétrica:

Sabemos que toda curva regular es rectificable, es decir, admite el cálculo de la longitud de su arco sobre un intervalo real dado. Siendo, por tanto, la representación paramétrica regular ([a, b], v (u)) rectificable, se puede obtener la longitud de su arco sobre el intervalo de definición [a, b], por


Teorema: Sea ([a, b], v (u)) unarco regular y uo perteneciente a [a, b]. Si


Es, para todo u del intervalo [a, b], se cumple que s (u): [a, b] ---à [s(a), s (b)] es un cambio de parámetro admisible de clase r.
 En efecto:
 a) s (u) es suprayectiva y estrictamente creciente, por tratarse de la integral de una función positiva.
 b) La derivada de s conrespecto a u es no nula: 
 Al parámetro s (u) le llamaremos parámetro longitud de arco.
Propiedades del parámetro longitud de arco de curva.

1. La longitud de arco de curva no se altera cuando se hace un cambio de parámetro admisible.
En efecto: Sea C la curva de ecuación , el cambio de parámetro dado por , entonces la longitud de curva en es:

2. Para los puntos regulares de lacurva, es decir, para los que , se verifica
En efecto:
Como , derivando la función y particularizando en el punto queda

Dos consecuencias importantes de estas dos propiedades son:
1. Para los puntos regulares existe la función inversa de , es decir una función , siendo por tanto posible un cambio de parámetro y expresar la curva mediante
2. Tomando como parámetro de la curva elparámetro longitud de arco de curva se observa que , es decir el vector es un vector unitario en la dirección del vector tangente, por tanto es el vector tangente unitario.

3.5 Coordenadas polares:

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desdelos ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo () y una distancia (r). Para medir , en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar unpunto (r,) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación  y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.
A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay trescircunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de lasmanecillas del reloj.
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Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar,

también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Porejemplo:

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos.
En este tipo de funciones la variable independiente es  y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r() en coordenadas rectangulares...