Reticulo Distributivo

Retículo distributivo
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En matemática, un retículo distributivo es un retículo en el cual las operaciones de unión (join) e intersección (meet) se distribuyen la una sobre la otra. El ejemplo típico de estas estructuras es una colección de conjuntos, donde los operadores quedan dados por la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos. De hecho, dichoejemplo describe el escenario por completo: todo retículo distributivo es isomorfo a un retículo de conjuntos.
Contenido

1 Definición formal
1.1 Definición algebraica
2 Morfismos
2.1 Ejemplos
3 Propiedades
4 Teoría de la representación
5 Retículos distributivos libres
6 Referencias
6.1 Notas
6.2 Bibliografía

Definición formalComo en el caso de los retículos arbitrarios, un retículo distributivo L puede definirse equivalentemente como una estructura desde el punto de vista de la teoría del orden o del álgebra universal.
Definición algebraica

Un retículo (L,\vee, \wedge) es distributivo si lo siguiente se cumple para todo x, y, z en L:

x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z).

Viendo losretículos como conjuntos parcialmente ordenados, se dice que el operador meet "preserva" un número finito y no vacío de operadores join. Un resultado básico de la teoría de retículos es que la condición de arriba es equivalente a su dual:

x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z).

Otra definición equivalente es decir que L es distributivo si y sólo si lo siguiente se cumple paracualesquiera elementos x, y, z en L:

(x\wedge y)\vee(y\wedge z)\vee (z\wedge x) = (x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).

Lo que a su vez es equivalente a decir

(x\wedge z = y\wedge z) y (x\vee z = y\vee z) implica x=y\,.

Morfismos

Un morfismo de retículos distributivos es una función que es compatible con los dos operadores meet y join.
Ejemplos
Retículo de Young.

Losretículos distributivos son estructuras ubicuas y al mismo tiempo muy específicas. El ejemplo típico es la familia de conjuntos provista de los operadores de unión e intersección. Otros ejemplos son:

Toda Álgebra de Boole es un retículo distributivo.
El Álgebra de Lindenbaum–Tarski de la lógica, donde el operador de conjunción se distribuye sobre el de disyunción, y viceversa.
TodaÁlgebra de Heyting es un retículo distributivo. Este incluye especialmente a los retículos locales, y por tanto a todos los retículos de conjuntos abiertos de los espacios topológicos. Las álgebras de Heyting pueden verse como Álgebras de Lindenbaum de lógica intuicionista, lo que lo convierte en un caso particular del ejemplo anterior.
Los conjuntos totalmente ordenados con el máximo comojoin y el mínimo como meet.
Los números naturales conforman un retículo distributivo completo, con el máximo común divisor como meet y el mínimo común múltiplo como join.
Dado un entero positivo n, el conjunto de todos los divisores positivos de n, con el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo como meet y join, respectivamente. Esta es un álgebra booleana sí y sólo si n es unentero libre de cuadrados.
Un espacio vectorial reticular ordenado, comúnmente llamado espacio de Riesz.
El retículo de Young dado por la inclusión que ordena la tabla de Young representando particiones enteras.

Propiedades
Diagramas de Hasse de dos típicos retículos no-distributivos.
El retículo diamante, M3.
El retículo diamante, M3.
El retículo pentágono, N5.
El retículopentágono, N5.

Los retículos no-distributivos más simples son el "retículo diamante", M3, y el "retículo pentágono", N5. Un retículo es distributivo si y sólo si ninguno de sus subretículos es isomorfo a M3 o N5; un subretículo es un subconjunto cerrado bajo los operadores meet y join del retículo original.

Un elemento de un retículo distributivo es meet-primo o ínfimo-primo si y sólo si es...