romanticismo

I. ESPACIOS METRICOS


1.1 Concepto de espacio abstracto

Un espacio abstracto es un conjunto de elementos (no especificados) los cuales satisfacen ciertos axiomas, con un cierto propósito. La elección de diferentes conjuntos de axiomas permitirá obtener diferentes tipos de espacios abstractos. La teoría entonces consiste de consecuencias lógicas que resultan de los axiomas derivados enteoremas, los cuales pueden posteriormente ser aplicados a varios conjuntos especiales satisfaciendo aquellos axiomas.

La idea de usar espacios abstractos de una manera sistemática se remonta a M. Frechet (1906), y se justifica por su gran éxito.

1.2 Definición de Métrica

Sea un conjunto no vacío. Una función , con dominio real, definida en , esto es, en el conjunto de los paresordenados de los elementos de , es una métrica o función distancia de si y solo si, para todos ,, se satisfacen los siguientes axiomas:

A1: es una función de valor real, finito y no negativo.
A2: si y solo si
A3: (simetría)
A4: (desigualdad triangular)

El número real no negativo recibe el nombre de distancia de a . El nombre de desigualdad triangular es motivado por la geometríaelemental como se muestra en la figura 1.











Figura 1

1.3 Definición de Espacio métrico

Un espacio métrico es un par donde es un conjunto y es una métrica definida en.

En lugar de podemos simplemente escribir siempre que no haya peligro de confusión.

Ejemplos de espacios métricos

1.3.1 La recta real

Este es el conjunto de todos los números reales con lamétrica usual definido por


Ver figura 2.






Figura 2

1.3.2 El plano euclidiano con la métrica Euclidiana

El espacio métrico , llamado plano Euclidiano, es obtenido si tomamos el conjunto de pares ordenados de números reales,, etc. y la métrica Euclidiana definida por



Ver figura 3.


















Figura 3


1.3.3 El plano Euclidiano con la métrica dela suma

Otro espacio métrico se puede obtener si se toma el mismo conjunto del ejemplo 1.3.2 pero con la métrica definida mediante


Ver figura 4.



















Figura 4

Para probar que las funciones dadas en los ejemplos anteriores son métricas, se debe verificar en cada caso cada uno de los axiomas A1 al A4.

1.4 Definición de Producto Interno

El productointerno viene a ser el análogo del producto punto, o producto escalar entre dos vectores familiar a todos nosotros. El producto escalar entre dos vectores cualquiera y esta dado por



Este producto escalar da como resultado a las siguientes formulas



y la condición de ortogonalidad (perpendicularidad)


los cuales son muy importantes en muchas aplicaciones matemáticas. Por lotanto, surge la pregunta de si el producto escalar y la ortogonalidad pueden ser generalizados a espacios vectoriales arbitrarios. La respuesta es si, y a esta generalización se le llama producto interno , que permite definir:

a) Una norma mediante
b) Ortogonalidad mediante

Definición: El producto interno sobre un espacio vectorial es una aplicación que va de a un campo escalar de ; estoes, con cada par de vectores e esta asociado un escalar llamado el producto interno de e de tal manera que para todos los vectores , , y escalares se tiene

A1:
A2:
A3:
A4:
A5:

Un producto interno sobre define una norma sobre dado por




y una métrica sobre dado por




II. GEOMETRIA DE MINKOWSKI


2.1 Espacio tiempo

El espacio tiempo es bastante familiar anosotros: Un diagrama de espacio tiempo es un esquema que se usa para describir y analizar el movimiento. Por ejemplo, supongamos que una partícula se mueve hacia arriba a lo largo del eje z con velocidad constante de metros por segundo. Acostumbramos representar el movimiento en un diagrama como el de la figura 5, el cual constituye una representación del espacio tiempo debido a que involucra...