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Espacio vectorial.
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Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones:escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII:geometría analítica, matrices) y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotandoa los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodoscomo las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades)mediante técnicas de linealización.
El vector negro (_x_, y) = (5, 7) puede expresarse como combinación lineal de dos pares diferentes de vectores (5·(1, 0) y 7·(0, 1) – azul; 3·(−1, 1) y 4·(2, 1) – amarillo).
El plano R2, consistente en los pares (_x_, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,
(_x_1, y1) + (_x_2,y2) = (_x_1 + x2, y1 + y2),
y cualquier par (_x_, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (_sx_, sy).
Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).
Lanoción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los números reales otros cuerpos), como los números complejos o los cuerpos finitos, se permiten. En segundo lugar, la dimensión del espacio, que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria, incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que loselementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia de representar el vector (_x_, y ) como
(_x_, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1)
o como
(_x_, y) = (−1/3·_x_ + 2/3·_y_) · (−1, 1) + (1/3·_x_ + 1/3·_y_) · (2, 1)
suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener untercer vector v + w
producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.
que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):
Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es...