rsiduos

.3 Análisis de residuos. Gráficos.

Como se ha indicado anteriormente, el análisis de los residuos es básico para chequear si se verifican las hipótesis del modelo de regresión. Por ello, a continuación se exponen las propiedades matemáticas de los mismos. Considérese el modelo de regresión lineal múltiple

Y = X a + e.
Los residuos mínimo-cuadráticos vienen dados por

ei = yi- ^yi i =1,...,n
o en forma matricial

e = Y - ^Y.
Como ^Y = HY, siendo H = X(XtX)-1Xt la matriz de proyección ortogonal. Es fácil probar que la matriz H es idempotente (HH = H) y simétrica t (H = H). En base a esto

e = Y -^Y = Y -HY = (I- H)Y = (I -
H)(X
a + e) ==>
e = Xa + e -HXa -He = (I- H)e ,
donde se utilizó que HX = X. Se calcula la matriz de varianzas de los residuos,( ) Var(e) = (I-
H) E eet (I- H)t = s2(I- H) (I- H)t = s2(I- H) .
Por tanto, ei es una variable aleatoria con distribución
ei ~ N (0,s2(1- hii)), i = 1,...,n,
(9.9)
donde hii es el valor de influencia de xi. que mide la “distancia estadística” de xi. a x. Un residuo “grande” indica que la observación está lejos del modelo estimado y, por tanto, la predicción de esta observación esmala. Las observaciones con residuos grandes se denominan observaciones atípicas o heterogéneas (outliers).
Como los residuos tienen varianza variable y son dimensionados (tienen las unidades de la variable Y ), normalmente se tipifican
- V~ -ei--, i = 1,...,n, s 1 - hii
(9.10)
los residuos tipificados siguen una distribución normal estándar, pero como s2 es desconocido, se sustituye por suestimador, la varianza residual ^s R2 y se obtienen los residuos estandarizados, definidos como
ei ri = ^s- V~ 1---n-, i =
1,...,n,
R ii
(9.11)
Por la hipótesis de normalidad los residuos estandarizados siguen una distribución t con n-(k+ 1) grados de libertad. Como ya se indicó en el estudio del modelo de regresión lineal simple, en el cáluco de ri existe el problema de quehay una relación de dependencia entre el numerador y el denominador de ri. Para evitar ésto, con mayor esfuerzo computacional, se calcula para cada i, i = 1,...,n, el estimador ^s R,(i), la varianza residual del modelo de regresión obtenido a partir de la muestra en la que se ha eliminado la observación (xi,Yi). Ahora se definen los residuos estudentizados como
ei ti = ^s--- V~ 1---n-~t(n-1)- (k+1) i = 1,...,n
R(i) ii
(9.12)
Los residuos estudentizados siguen una distribución t con (n- 1) -(k +
1) grados de libertad. Si el tamaño muestral (n) es grande, los residuos estandarizados y los estudentizados son casi iguales y muy informativos, pudiéndose considerar grandes los residuos estandarizados tales que |ri| > 2.
Con los residuos estandarizados o estudentizados sepueden construir los siguientes gráficos de interés, muchos de los cuales ya han sido comentados,
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El gráfico de dispersión matricial, de todas las variables del modelo (respuesta y regresoras). En el estudio de un modelo de regresión lineal múltiple es el primer gráfico que se debe observar. Proporciona una primera idea de la existencia de relación lineal o de otro tipo entre larespuesta y las regresoras y también da una idea de posibles relaciones lineales entre las variables regresoras, lo que crea problemas de multicolinealidad.
El gráfico de dispersión matricial para los datos del Ejemplo 7.1. se representa en la Figura 9.2.

(ei)

Figura 9.2. Gráfico matricial con los datos del Ejemplo 7.1.

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El histograma de los residuos, que sirve para observar laexistencia de normalidad, simetría y detectar observaciones atípicas.
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El gráfico probabilístico de normalidad (p-p y q -q) y el gráfico de simetría, que permite contrastar la normalidad (simetría) de la distribución de los residuos.
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El gráfico de residuos (ei) frente a las predicciones (^yi), que permite detectar diferentes problemas:
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Heterocedasticidad, la varianza no es...