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Mendoza Chávez Daniella COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

Ing. Informática

Se llama cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de coordenadas ortogonales con origen 0 y ejes x, y, z,a los cosenos de los ángulos que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes coordenados. Los ángulos hay que tomarlos entre 0 y π, de manera que los cosenos directores pueden ser positivos onegativos. Si los ángulos del vector ��(x, y, z) con los ejes representativos por α, β, γ, los cosenos directores se deducen de las formulas: x= |��|cos α y=| ��|cos β z=| ��| cos γ Si elevamos estasigualdades al cuadrado y las sumamos miembro a miembro, resulta: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 que es la relación fundamental que liga los cosenos directores de un vector. También se deduce:

cos ��=

�� �� 2 +�� 2 +�� 2

cos �� =

�� �� 2 +�� 2 +�� 2

cos �� =

�� �� 2 +�� 2 +�� 2

En el plano, α y β son ángulos directores de ��, entonces:

x=|��|cosα

y=1��1cosβcos2α+cos2β=1

Universidad Veracruzana

Mendoza Chávez Daniella Ejemplo: Determinar los cosenos directores del vector (1, 2).

Ing. Informática

cos �� = cos �� = 1 5
2

1 12 + 22 2�� 12 + 22 2 5
2= =

2 5 2 5

+

=

1 4 + =1 5 5

Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

cos �� =

1 12 + 22 + −3 1 12 + 22 + −3 −3 12 + 22 + −3 + 2 14
2 2 2 2

=

1 14 2 14 −314 1 4 9 + + =1 14 14 14

cos �� =

=

cos �� = 1 14
2

=
2

+

−3 14

=

Universidad Veracruzana

Mendoza Chávez Daniella Ejercicios: 1. Vector (4, 5, 3) k

Ing. Informáticaz y j 4 x 3

i |��| = |��| = �� ��

5

���� 2 + ����2 + ���� 2 4�� 2 + 5��2 + 3��2 16 + 25 + 9 50
�� �� 2 + �� 2 + �� 2 4 50 4 50 cos �� = �� �� 2 + �� 2 + �� 2 5 50 5 50 cos �� = �� �� 2 + ��2 + �� 2 3 50 3 50

= =

cos �� =

cos �� =

cos �� = �� = ������ −1 �� = 45° 5 50
2

cos �� =

�� = ������ −1 �� = 55.55° 4 50
2

�� = ������ −1

�� = 64.89°

+

+

3 50...