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Introducción de la Unidad Didáctica 3

En esta unidad haremos una revisión de las funciones conocidas, con las que aprendiste a trabajar en años anteriores, como las funciones lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica. Además, introduciremos las funciones módulo y homográficas. Es muy importante que tengas claro los conceptos relacionados con las funciones básicas, dado que estos sonla base para encarar los conceptos de Análisis Matemático que abordaremos en las próximas unidades.

















Objetivos

Identificar, definir, graficar, describir e interpretar funciones lineales, módulo, exponenciales, logarítmicas y homográficas.

Reconocer que las funciones estudiadas pueden servir de modelo para una variedad de situaciones.

Resolver ecuacionesasociadas a las funciones estudiadas, seleccionando los modelos y las estrategias de resolución en función de la situación planteada.

Organizador de Contenidos




























Contenidos
funciones
Función lineal
Recordá:
Llamamos función lineal a aquélla cuyo gráfico es un conjunto de puntos que pertenecen a la misma recta.
Toda función lineal estádefinida por un polinomio de primer grado.
En general, toda función lineal puede escribirse de la forma: y = ax + b, donde el valor a es la “pendiente de la recta” (inclinación) y el valor b es la “ordenada al origen” (punto de corte con el eje y).

En general, podemos decir que:
La pendiente (a) de una recta representa el cambio de y respecto de x.
Dados dos puntos de la recta (x1; y1) y(x2; y2), la pendiente de la misma está dada por la relación: a = , entonces, la fórmula correspondiente es: a =

Recordá:
Dos rectas y = a1x + b1 y y = a2x + b2 son:
Paralelas si tienen la misma pendiente. Es decir, si a1 = a2
Perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Es decir, si a1 = 1/a2
Ejemplo
a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a por el punto (2;-1).b) Halla la ecuación de la recta paralela a por el punto (3; 2).
c) Grafica las tres rectas en un mismo par de ejes cartesianos.

a) Como las rectas son perpendiculares, es: . Nos queda entonces reemplazar por el punto y hallar el valor de b:

Y la ecuación pedida es:

b) Como las rectas son paralelas, es . Nos queda entonces reemplazar por el punto y hallar el valor de b:

c) Elgráfico de las tres rectas es el siguiente:



Función cuadrática
Recordá:
Llamamos función cuadrática a toda función definida por un polinomio de segundo grado. Gráficamente, esta función representa una parábola. En símbolos, la fórmula de una función cuadrática es:

y = ax2 + bx + c con a  0 (a, b y c se llaman coeficientes)


Dada la ecuación ax2 +bx + c = 0 susraíces, que son las raíces de la función cuadrática, se hallan con la fórmula



La x del vértice de la parábola (xv) se halla con la fórmula mientras que para hallar la y vértice (yv) se reemplaza xv en la función dada.


Recordá:
Una parábola y = ax2 + bx + c puede tener:
Esto ocurre porque la ecuación de segundo grado asociada,
ax2 + bx + c = 0puede tener:
(1) Dos raíces o puntos de intersección con el eje x
Dos soluciones reales
(2) Una raíz o punto de intersección con el eje x, que coincide con el vértice
Una sola solución real
(3) Ninguna raíz o punto de intersección con el eje x
Ninguna solución real
Gráficamente:




Ejemplo

Graficaremos, paso a paso, la parábola y = -x2 + 2x + 1

1º) Obtenemos el vértice y el ejede simetría:
xv = 1
yv = 2
El vértice es el punto V = (1; 2) y
El eje de simetría es la recta x = 1 (paralela al eje y)
2º) La ordenada al origen es el punto
y = 1
3º) Los marcamos en el gráfico

Observá que, en color verde, marcamos el simétrico del punto ordenada al origen, respecto del eje de simetría de la parábola
Unimos los tres puntos marcados y tenemos el gráfico de la...