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MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

da (£)> momento angular (/) y componente z del momento angular (m).
Antes de considerar las soluciones de la ecuación (49) para potenciales particulares, es necesario señalar algunas propiedades generales
de los estados estacionarios. La primera observación se refiere a la
degeneración de los estados. Lafunción RE¡ depende de / pero no
de m. Entonces, para cada valor permitido de m para una / dada, se
obtiene una autofunción que corresponde a la misma energía. Ya
que m puede tomar valores enteros de -/ a /, existen(2/ + l)valores de
m y, por lo tanto, tos estados en un potencial central están degenerados (21+ 1 ) veces. El número m mide la proyección de L sobre el eje
z y está determinadoprincipalmente por la orientación del vector de
momento angular. La degeneración en cuestión es consecuencia del
hecho de que el hamiltoniano es independiente de esta orientación
cuando el potencial es esféricamente simétrico.
La segunda observación se refiere a la paridad de los estados. Como se recordará, el operador de paridad cambia el signo de todas las
coordenadas. Entonces, por definición, para /arbitraria,
Pf(x,y,x)=f(-x,-y,-Z).

Recurriendo a la ecuación (20) o a la Figura 1 , se obtiene que en coordenadas esféricas,
r, 0 , 0 ) =/(r, 7i—0,0 ± Í T ) .
y en particular
Ptslm(r, 6, 0) = Ra(r)

Yr(* - 0, 0 ± TT) .

19$

parte radial de la función onda REl se escribe en la forma
<.
11 „,(r\

(53)

que sustituida en la ecuación (49) da como resultado
h2 d*ua.\ví , . ft2/(/+ 1)
" " ( r ) + 2mr*(54)

Esta expresión es más simple que la ecuación (49) y, lo que es más
importante, es idéntica en la forma a la ecuación estacionaria de
Schródinger en una dimensión para el movimiento en el potencial
efectivo y. Sin embargo, la ecuación (54) tiene significado únicamente para valores positivos de la coordenada r y, además si REi(r) está
acostada en el origen, entonces, de acuerdo con la ecuación(53) se
tiene que
« H (r = 0 ) = 0 .

(55)

De este resultado se concluye que las soluciones de la ecuación
radial son las mismas que las soluciones para estados impares del
problema en una dimensión en el potencial simétrico V—V(\x\) + h*l
(l+l)/x2, ya que estos estados impares se anulan en el origen. En
una dimensión, los estados pares no satisfacen la ecuación (55) y
por lo tanto no aparecen en elespectro. En consecuencia, todas
las técnicas que se usaron en una dimensión, se pueden aplicar al
movimiento en tres dimensiones. Además, para una / dada, los estados radiales son únicos; existe una y sólo una autofunción radial

m

Recordando que P, (0) es una función par o impar de eos 0 según
que (/ — \m\) sea par o impar, sem concluye que P¡m(6) mtiene paridad
(_ i)í-imi y e j factor eimi>en Yt , tiene paridad (- l) . Entonces,

e, 0) = (-

r, e, 0) ,

(51)

y los estados tienen paridad definida. La paridad es par o impar, según que / sea par o impar, y no depende en absoluto de m.
Finalmente, se puede señalar la relación entre la ecuación radial
(49) y la ecuanción para estados estacionarios en una dimensión.
Si se toma la combinación del potencial V(r) más el término centrífugo/(/ + l)ñ.2/2mr2 como equivalente al potencial efectivo
V(r) = V(r)

1(1

2mr2

(52)

entonces, la ecuación radial tiene un parecido muy estrecho con el
movimiento en una dimensión. Este parecido es más estrecho si la

V = V(r) + 1(1 + \WI2mr1

Figura 3. Gráfica del potencial radial efectivo K = V(r) + 1(1+ 1)ft 2 /2mr a para
los primeros valores de I, en el caso de un potencial repulsivo. Sóloaparecen estados continuos de energía positiva E. Para E dada, ocurre uno de estos estados
para cada valor de /.

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20?

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

ALGUNOS EJEMPLOS

simultánea de E y / para estados continuos como para estados ligados. Sin embargo, siempre se pueden encontrar en el continuo
autoestados de cualquier energía para todo valor de /, por lo cual,
los estados continuos en tres...