señales dijitales

Fenómeno de Gibbs


I. INTRODUCCIÓN


Fenómeno de Gibbs
   Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene un comportamiento especial en dichopunto. Este comportamiento se llama fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto las sumas parciales de la serie de Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas. Estefenómeno fue observado por el físico experimental Albert Michelson, quien en 1898 construyó una máquina para sumar series de Fourier. Alrededor de las discontinuidades de las funciones siempreaparecían saltos, que no se hacían pequeños por mucho que se aumentara el número de sumandos de la serie. El fenómeno fue explicado en 1899 por J. Williard Gibbs, y puede cuantificarse con precisión. Aquí tansólo ilustramos el fenómeno considerando la función que vale 1 entre 0 y pi y -1 entre -pi y 0. Las sumas parciales de la serie de Fourier de esta función son

En tales entornos las sumas parcialesmuestran sobre Y subvalores alrededor del valor real de la función que pueden llegar a un 18% del salto en la discontinuidad.
Si  es un punto de discontinuidad, la sucesión de sumas parcialesconverge al valor:




Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para un término de la sumatoria.


Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para diez terminos de lasumatoria.


Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para cien terminos de la sumatoria.

                   
Condición tercera de convergencia de serie de Fourier:
En cualquierintervalo finito de tiempo hay solo un número finito de discontinuidades, además, cada una de estas discontinuidades debe ser finita.
Para una señal periódica que no tiene discontinuidades, larepresentación de la serie de fourier converge e iguala a la señal original en todos los valores de t.
Para una señal periódica con un número finito de discontinuidades en cada periodo, la representación de...