Sebastian

MATEMÁTICA
MÓDULO 2
Eje temático: álgebra y funciones
1. LENGUAJE ALGEBRAICO
1.1. Simplificación de fracciones algebraicas
Si tenemos la fracción

15
, la puedes simplificar por 3, ya que tanto el
18

numerador 15 como el denominador 18 tienen como divisor común este
número:

15 5 ⋅ 3
5
=
=
18 6 ⋅ 3
6
Esto que ocurre con las fracciones numéricas, también ocurre con lasfracciones algebraicas, por ejemplo, si queremos simplificar la fracción:

x2 − 2x
, debemos buscar previamente un divisor común del numerador y del
x2 − 4
denominador. Para ello debes factorizar previamente ambos términos:

x2 − 2x
x(x − 2)
=
2
x −4
(x + 2)(x − 2)
El divisor común es (x-2), si simplificamos por él, obtenemos la fracción
reducida:

x (x − 2)
(x + 2)(x − 2)

=

xx+2

Para poder simplificar hay que factorizar previamente, por lo tanto, debes
dominar bien todos los casos de factorización; si no los dominas te
recomendamos visitar el eje temático de Álgebra y funciones del módulo
anterior (1° medio).
Si queremos simplificar fracciones de la forma:

(2x2y3 )2
, debemos ocupar las
16x3y8

propiedades de potencias, que repasaremos a continuación:1.2. Potencias de base real y exponente entero
Definición:

a0 = 1 (a ≠ 0)
1
a−1 =
(a ≠ 0)
a
1
a-n = n (a ≠ 0)
a
Propiedades:

1) an ⋅ am = am +n

(multiplicación de potencias de igual base)

2) an ÷ am = am −n

(división de potencias de igual base)

3) an ⋅ bn = (a ⋅ b)n

(multiplicación de potencias de igual exponente)

n

an
⎛ a⎞
=⎜ ⎟
n
b
⎝b⎠
n
5) (a ⋅ b) = an⋅ bn
4)

(división de potencias de igual exponente)
(potencia de un producto)

n

an
⎛ a⎞
6) ⎜ ⎟ = n
b
⎝b⎠
7) (am )n = am⋅n

(potencia de un cuociente)
(potencia de potencia)

Ocupando estas propiedades podemos volver ahora al ejemplo que dejamos
pendiente:
Simplificar la fracción:

(2x2y3 )2
16x3y8
En el numerador ocupamos las propiedades 5 y 7:
(2x2y3)2 = 4x4y6, por lotanto la fracción se transforma en:

4x 4y6
16x3y8

Ocupando ahora la propiedad 2 y simplificando por 4, obtenemos:

4x 4y6
x
=
3 8
16x y
4y2

2

1.3. Operatoria con fracciones algebraicas.
Si queremos efectuar la operación

1 3
+ debemos buscar previamente el
2 5

m.c.m. de los denominadores:
m.c.m. (2,5) = 10; enseguida calculamos cuántas veces cabe 2 en 10 y el
resultadolo multiplicamos por el numerador 1, y lo mismo hacemos con el
denominador 5:

1 3 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 11
+ =
=
2 5
10
10
Si las fracciones son algebraicas se procede de la misma forma, pero debes
factorizar previamente los denominadores para poder determinar el m.c.m.
Ejemplo:

5
3
+ 2
=
2x + 2y x − y2
Para hallar el
previamente:

m.c.m.

de

los

denominadores,

debemosfactorizarlos

2x + 2y = 2(x + y)
x2-y2 = (x + y)(x - y)
El m.c.m. entre 2(x + y) y (x + y)(x - y) es la expresión algebraica menor
que contenga todos estos factores, esta es: 2(x + y)(x - y)
Ahora procedemos tal como lo hicimos en el ejemplo numérico:

5
3
5
3
5(x − y) + 2 ⋅ 3
5x − 5y + 6
+ 2
=
+
=
=
2
2x + 2y x − y
2(x + y) (x + y)(x − y) 2(x + y)(x − y) 2(x + y)(x − y)Veamos ahora otro ejemplo:

1
1
+
=
x + 5x + 6 x + 3
2

Factorizamos el denominador: x2+5x+6=(x+2)(x+3)

3

El m.c.m entre (x+2)(x+3)

y (x+3) es (x+2)(x+3), por lo tanto:

1
1
1
1
1+ x +2
+
=
+
=
=
x + 5x + 6 x + 3 (x + 2)(x + 3) x + 3 (x + 2)(x + 3)
2

1
x+3
=
(x + 2)(x + 3) (x + 2)

Si queremos multiplicar o dividir fracciones algebraicas, lo hacemos de lamisma forma que cuando se operan fracciones numéricas:

a c ac
⋅ =
b d bd
a c a d ad
: = ⋅ =
b d b c bc
Como se explicó anteriormente, para poder simplificar se debe factorizar
previamente.
Veamos un nuevo ejemplo:

x
y
=
2x − 2y
1−

En el numerador: 1 −

x
x y−x
el m.c.m. es y, si restamos obtenemos: 1 −
=
y
y
y

En el denominador factorizamos por 2: 2x – 2y = 2(x-y)...