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CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2

5.1. Introducción
Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo ( ( ) )

La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos:

5.2. Reducción de orden
Este método consiste en reducir el problemade resolver una ecuación diferencial de segundo orden a un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar ( )=0. Haciendo

5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación

,

se deduce primer orden

. Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de

f x,p, p'  0

Resolviendo estaecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene

y   px dx  y  Φx,C1 ,C 2 
5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación (

)=0. Haciendo

,

se tiene

y 

d y dp dy dp  p dx dy dx dy

La ecuación dada se transforma en

 dp  f  y ,p, p   0  dy   
Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene

1

y  Φx,C1,C 2 

5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar

yPx yQx y  Rx 
En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidas

Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones

continuas en un intervalo I y sea x 0  I . Sean y 0 , y 0 dosnúmeros reales cualesquiera. El problema del valor inicial

y Px yQx y R x  , yx 0   y 0 , yx 0   y 0
tiene solución única definida en I

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden

yPx yQx y  Rx 

es homogénea , si R(x) = 0 ,

xI

y Px y Qx y  0

Teorema 2. Sean

y1 ,y 2 soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I. Entonces se

verifica

1.

y1  y 2 es una solución en I
c y1 es una solución en I

2. Para cualquier constante c,

2

Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si y1 , y 2 son dos soluciones de la ecuación anterior c1 y1 c 2 y 2 es una solución para dos constantes cualesquiera

Definición1. Las soluciones

y1 , y 2 son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos
c1 y1+c2 y2 =0

números reales no todos nulos tales que

Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes. Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientes
Teorema 3. Estudio del wronskiano parala independencia lineal

Sea la ecuación homogénea de segundo orden

( )

( )

, y sean y1, y2 soluciones de la

ecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dado por el determinante

W y1 ,y 2  

y1 x  y 2 x 

 y1 x  y 2 x 

es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientes
Teorema 4. Seany1, y2 soluciones independientes de:

( )

( )

en un intervalo I. Se

demuestra que toda solución de la ecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo c1 ,c 2 constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2 son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuacióndiferencial

5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación lineal

homogénea de segundo orden ( ) ( )

Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segunda solución linealmente independiente de la forma

y2(x)= u(x) y1(x) 3

Calculemos y 2 , y  y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene...