semana1

L´ımite de una funci´
on y Continuidad (Semana No. 1)
Edgar Bar´on
Luisa Fernanda Mart´ınez Rojas
Polit´ecnico Grancolombiano
eabaronp@poligran.edu.co
lfmartinezr@poli.edu.co
Bogot´a, 2014

L´ımite de una funci´
on y Continuidad (Semana No. 1)

Competencias

´Indice

1. Palabras Claves

1

2. Objetivos Espec´ıficos de la Unidad

1

3. Competencias

1

4. Desarrollo tem´
atico

2

5. Presentaci´on intuitiva de la idea de l´ımite de una funci´
on
5.1. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
4

6. Ejercicios 1.

6

7. Bibliograf´ıa

6

Secci´
on 1: Palabras Claves
Funci´
on, aproximaci´
on, tendencia, l´ımite, continuuidad, factorizaci´on.

Secci´
on 2: Objetivos Espec´ıficos de la Unidad
1. Presentar demanera intuitiva la noci´
on de l´ımite de una funci´on, mediante gr´aficas de funciones y mediante la utilizaci´
on
de tablas de datos, otra manera de expresar una funci´on.
2. Presentar de manera intuitiva la noci´
on de continuidad de una funci´on en un punto, junto con su formalizaci´
on.
3. Presentar las propiedades de los l´ımites, y a partir de ellas, calcular el l´ımite de una funci´on, si´este existe.

Secci´
on 3: Competencias
1. El estudiante estar´
a en capacidad de comprender y expresar las ideas matem´aticas tratadas en esta unidad, mediante
la utilizaci´
on de la simbolizaci´
on matem´
atica.
2. El estudiante estar´
a en capacidad de solucionar ejercicios, utilizando la teor´ıa tratada en la unidad.

1

L´ımite de una funci´
on y Continuidad (Semana No. 1)

Presentaci´
onintuitiva de la idea de l´ımite de una funci´
on

Secci´
on 4: Desarrollo tem´
atico

Secci´
on 5: Presentaci´
on intuitiva de la idea de l´ımite de una funci´
on
¿Qu´e sucede con las im´
agenes de valores evaluados bajo una funci´on f cuando la variable independiente se aproxima a
un n´
umero a?
Nota: Debemos decir que el valor a no necesariamente hace parte del dominio de la funci´on f .
Paraempezar a responder la pregunta, veamos el siguiente ejemplo:
La figura muestra la gr´
afica de la funci´
on f (x) =
bastante pr´
oximos a 3.

2

9 − x2
y queremos saber qu´e ocurre con las im´agenes de valores
3−x

L´ımite de una funci´
on y Continuidad (Semana No. 1)

Presentaci´
on intuitiva de la idea de l´ımite de una funci´
on

Observamos varias cosas:

1. El dominio de f corresponde a todoslos n´
umeros reales excepto x = 3. Debido a esto, la gr´afica de f presenta un
”hueco”
2. La gr´
afica de la funci´
on f es una recta
Ahora, si escogemos un intervalo peque˜
no alrededor del valor 3 y comenzamos a aproximarnos por la derecha y por la
izquierda a este valor, notamos que las im´
agenes de los puntos del intervalo se aproximan a 6. Veamos la situaci´
on descrita,
en la siguientefigura:

Decimos entonces que el l´ımite de la funci´
on f cuando x tiende o se aproxima al valor 3, es 6.
En la siguiente tabla, se muestran algunos valores bastante pr´oximos a 3 y al igual que en la gr´afica, podemos observar
qu´e ocurre con el comportamiento de sus correspondientes im´agenes obtenidas al evaluar cada valor arbitrario bajo f .
N´
otese que se escogen valores que se acerquen oaproximen a 3 por la derecha y valores que se acerquen o aproximen a
3 por la izquierda.
x
f (x)

3

2,7
5,7

2,8
5,8

2,9
5,9

2,95
5,95

2,96
5,96

2,97
5,97

2,98
5,98

2,99
5,99

3
6

3,01
6,01

3,02
6,02

3,03
6,03

3,1
6,1

3,2
6,2

L´ımite de una funci´
on y Continuidad (Semana No. 1)

Presentaci´
on intuitiva de la idea de l´ımite de una funci´
on

En conclusi´
on

1. Cuando x se acerca a 3 porla izquierda, la imagen f (x) se acerca a 6; Este hecho se simboliza as´ı: l´ım− f (x) = 6. El
x→3

signo menos que aparece como exponente de 3 est´a indicando que estamos acerc´andonos por la izquierda a este valor,
a 3.
2. Cuando x se acerca a 3 por la derecha, f (x) se acerca a 6; se simboliza as´ı: l´ım f (x) = 6. El signo m´
as que aparece
x→3+

como exponente de 3 est´
a indicando que...