Semejanza Figuras Planas

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Centro de Alumnos de Ingenier´ 2009 ıa Preuniversitario de Ingenier´ ıa

Geometr´ ıa Gu´ No 7 ıa

SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS 1. Proporcionalmente iguales...

En Geometr´ diremos que dos figuras son semejantes (∼) si y s´lo si ıa, o tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tama˜ o, es decir, n una corresponde a una ”ampliaci´n”de laotra. o Ojo 1 Si dos pol´gonos regulares tienen igual n´mero de lados, entonces son ı u semejantes. Ojo 2 Toda circunferencia es semejante a otra circunferencia. Ojo 3 La congruencia es un caso particular de la semejanza.

Para la PSU, nos interesa en particular la semejanza de tri´ngulos. Dia remos que dos tri´ngulos son semejantes cuando los angulos de uno de ellos a ´ sean respectivamentecongruentes con los angulos del otro y adem´s, tengan ´ a sus lados hom´logos proporcionales. o C R ABC ∼ P QR

A = P, B = Q, C = R AB BC CA = = PQ QR RP A B P Q

1

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2.

Teoremas de Semejanza

Sin embargo, parar probar que dos tri´ngulos son semejantesno es nea cesario probar estas seis propiedades. Seg´ n el teorema fundamental de la semejanza de tri´ngulos, para u a que dos tri´ngulos sean semejantes, basta que cada uno posea dos angulos a ´ congruentes. C R ABC ∼ P QR

A = P y B = Q, o ´ A = P y C = R, o ´ B = Q y C = R. A B P Q

Ojo 4 Una consecuencia de esto es que cualquier paralela a un lado del tri´ngulo genera otro tri´ngulosemejante al original. a a C

D

E

AB//DE ⇒

ABC ∼

DEC

A

B

Tambi´n existen otros teoremas que nos ahorran el tener que probar estas e seis propiedades:

2

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1. Para que dos tri´ngulos sean semejantes, basta que tengan un angulo a ´congruente comprendido entre lados proporcionales. C b k·b R A= P y ⇓ ABC ∼ k·c Q AB AC = PQ PR P QR

A

c

B

P

2. Para que dos tri´ngulos sean semejantes, basta que tengan sus lados a proporcionales. C R b a k·b k·a AB BC AC = = ⇒ PQ QR PR ABC ∼ P QR

A

c

B

P

k·c

Q

3. Para que dos tri´ngulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus a lados respectivamenteproporcionales, y los angulos opuestos ´ a los mayores de estos lados, congruentes. R C k·q AB > AC q C∼ = Ry PQ > PR AC AB = ⇒ PR PQ

ABC ∼

P QR

A

k·r

B

P

r

Q

3

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Ojo 5 Si dos tri´ngulos son semejantes entonces sus transversales de graavedad, alturas, per´metros, etc. se encuentran en la misma raz´n que sus ı o lados. Ojo 6 Si dos tri´ngulos son semejantes entonces la raz´n entre sus areas a o ´ es igual al cuadrado de la raz´n entre sus lados. o

3.

Teorema de Thales

Si dos rectas se cortan por tres o m´s paralelas, los segmentos determia nados en una de ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentosdeterminados en la otra.

A

D

B

E

← → ← → ← → AB DE AD//BE//CF ⇒ = BC EF F

C

L1

L2

Ojo 7 La igualdad tambi´n se puede escribir como e

AB BC = . DE EF

Ojo 8 Si en la igualdad anterior sumamos un 1 a cada lado AB DE AB + BC DE + EF +1= +1⇒ = . BC EF BC EF Pero AB + BC = AC y DE + EF = DF , por lo tanto AC BC AB = = DF EF DE

4

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4.

Divisi´n de un Trazo o

Diremos que un punto P ∈ AB lo divide en la raz´n m : n, o si AP : P B = m : n. m AP = n PB

A

P

B

Si al dividir el trazo se cumple que la raz´n entre el trazo entero y el segmento o mayor es igual a la raz´n entre el segmento mayor y el menor,...