Semejanza

6
Objetivos
En esta quincena aprenderás a:

• Reconocer y dibujar figuras
semejantes.

• Aplicar los criterios de

Semejanza

Antes de empezar.
1.Semejanza ...................………………. pág. 92
Figuras semejantes
Teorema de Tales
Triángulos semejantes

semejanza de triángulos.

• Demostrar y utilizar los

teoremas del cateto y de la
altura.

• Aplicar el teorema de Pitágorasgeneralizado.

• Calcular áreas y volúmenes de
una figura a partir de otra
semejante a ella.

• Calcular distancias en planos y
mapas.

• Utilizar el teorema de Tales y la
semejanza para resolver
problemas de medidas.

2.Triángulos rectángulos. Teoremas .. pág. 96
Teorema del Cateto
Teorema de la altura
Teorema de Pitágoras generalizado
3.Razón
Razón
Razón
Razón

de
de
dede

semejanza
semejanza
semejanza
semejanza

........…………… pág. 99
en longitudes
en áreas
en volúmenes

4.Aplicaciones ............................. pág. 102
Escalas
Medir distancias inaccesibles

Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor
ANEXO

MATEMÁTICAS B

89

90

MATEMÁTICAS B

Semejanza
Antes de empezarInvestiga jugando

¿Cómo hacer carambola a una banda?
Si has jugado al billar, sabrás que hacer carambola a una banda
significa que la bola lanzada debe dar una vez en el marco de la
mesa antes de hacer carambola. Basta aplicar la semejanza para
conseguirlo, ¿Cómo?

¿Hacia donde debemos dirigir la bola amarilla para que después
de rebotar en la banda vaya a la bola roja?

RecuerdaAntes de seguir adelante te conviene comprobar que recuerdas
algo la proporcionalidad directa y algunas propiedades básicas
de los triángulos.

MATEMÁTICAS B

91

Semejanza
1. Figuras semejantes
Las figuras semejantes son las que mediante el zoom
(homotecias) y movimientos (giros, traslaciones y
simetrías) pueden coincidir.
Un polígono está determinado por sus lados y
ángulos, portanto para que dos polígonos sean
semejantes basta con que los lados homólogos
sean proporcionales (con el zoom se multiplican
todos los lados por el mismo número) y sus ángulos
iguales (las homotecias, los giros, las traslaciones y
simetrías no modifican los ángulos de las figuras).

Teorema de Tales
Para que dos polígonos sean semejantes se han de
cumplir dos condiciones
1. Ángulosiguales
2. Lados proporcionales
Pero en los triángulos basta con que se de una
condición.

r

s
b”
a”

a

t
a’

b

El Teorema de Tales, demuestra que en triángulos
r, s y t paralelas =>

Ángulos iguales ⇒ Lados proporcionales

b’
a
b

=

a’
b’

=

a”
b”

El teorema afirma que si dos rectas se cortan por
paralelas, los segmentos que estas paralelas definen
enlas rectas guardan la misma proporción.
También se cumple el recíproco del Teorema de Tales,
Segmentos proporcionales ⇒ paralelas.

Ĉ

Triángulos semejantes. Criterios
Dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de
los criterios de la derecha, llamados criterios de
semejanza

a
ˆ
B

b
c
Ĉ’

a’
ˆ
B'

92

MATEMÁTICAS B

1. Ángulos iguales
(con dos basta)
ˆˆ
 = ’ y B= B '

b’
c’

Â’

2. Un ángulo igual y los lados
que lo forman proporcionales
Â
b
c
=
 = ’ y
Mide ángulos con c '
b'
el transportador
3. Lados proporcionales
a
b
c
=
=
a' b ' c '

Semejanza
EJERCICIOS resueltos
1.

Para calcular la distancia desde la playa
a un barco se han tomado las medidas
de la figura. Calcula la distancia al barco.
x
70
70 ⋅ 140
=
⇒x== 1400 m
140
7
7

2.

Aplica el Teorema de Tales para calcular las medidas de x, y, z.
Calculamos x:

x4
=
⇒ x=4
z
z

Hallamos y:

4 +y + x = 14

Como

x=4 resulta y=6

Y aplicando de nuevo el Teorema de Tales:
z
3
=
⇒z=2
4y

3.

Observa las proporciones que se deducen del T. de Tales en la siguiente figura:
Ciertas
y⋅c = x⋅a
a−y b
=
c−x d
a+b c+d
=
a
c...