Serie Algebra Tensorial 2014 II

Elementos de Mecánica del Medio Continuo
Serie 1: Álgebra Tensorial

Sem 2014-II

Fecha de entrega: 25 de febrero.
1. Desarrolla las siguientes expresiones que están en notación indicial y despuésescríbelas en notación
directa. Indica de qué orden es el tensor que se tiene en cada una de las expresiones.
(a) ui v i
(b) ui v i wj gj
(c) Ti j uj gi
(d)

i

j

j

k

k

l

(e) E = fm Am m
(f) Ri m =Pmj Qmji
(g) Rkl g km g ln
(h) Akl glm gkn
2. Se tienen los vectores u = 2 g
^1
g
^2 2 g
^3 y v = g
^1
siguiente tensor métrico fundamental en un punto P
0
4
1
9=4
(gij ) = @ 1
1=2
1=4

g
^2 + g
^3en un sistema coordenado con el
1
1=2
1=4 A :
1=4

Calcula la base recíproca, los componentes covariantes de u y v, u v, u v, u v y ku vk : Con base
en la información proporcionada por el tensormétrico, describe cómo es la base natural, realiza un
bosquejo de ella, de la base recíproca y de los vectores u y v.

3. Demuestra que la doble contracción de la parte simétrica de un tensor con su parteantisimétrica es
igual a cero, es decir, si
1
1
A=
A + AT +
A AT = D + W
2
2
entonces
D: W = 0
4. En el punto en coordenadas polares cilíndricas x1 = 1=2; x2 = =3; x3 = 2 se tiene el tensor
T=

g
^1 g^1 + 8 g
^1 g
^2 + 9 g
^1 g
^3 + g
^2 g
^1

5g
^2 g
^2

3g
^2 g
^3 + g
^3 g
^1

5g
^3 g
^2

8g
^3 g
^3

Calcula los componentes físicos y veri…ca que los invariantes del tensor son los mismos en ambasrepresentaciones.
5. Comprueba que para el sistema de coordenadas esféricas se tiene que
g
^1 (x) = î1 sin x2 cos x3 + î2 sin x2 sin x3 + î3 cos x2 ;
g
^2 (x) = î1 x1 cos x2 cos x3 + î2 x1 cos x2 sinx3 î3 x1 sin x2 ;
g
^3 (x) =
î1 x1 sin x2 sin x3 + î2 x1 sin x2 cos x3 :

î1
î2
î3

csc x2 sin x3
cos x2 cos x3
g
^
;
3
x1
x1
2
3
2
3
cos x sin x
csc x cos x
= g
^1 sin x2 sin x3 + g
^2
+g
^3
;
1
xx1
sin x2
= g
^1 cos x2 g
^2 1 :
x
= g
^1 sin x2 cos x3 + g
^2

Calcula la métrica del espacio, los vectores base recíprocos, los vectores base unitarios y los componentes
físicos.
1

6. Una...