Serie de Curvas en el Plano Polar

SERIE de CURVAS EN EL PLANO POLAR

1.- Obtener la distancia entre los puntos A y B empleando coordenadas polares. Dibuje los puntos en un plano polar.
a) A ( 6 ,

/3) B(4,

/2)

b) A ( 8 , 2 / 3 ) B ( 3 ,

/ 12 )

c) A ( 7 , 4 / 3 ) B ( 4, 5 / 12 )

2.- Transforme las siguientes ecuaciones en coordenadas cartesianas a coordenadas polares
a) x2 + y2 = 9

c) x2 – y2 = 25

b) x2 + 4y2 = 16

e) x2 +y2 + 4x - 10y + 13 = 0

d) 4x – 3y = 2

f) x2 + y2 + 14x + 2y + 25 = 0

3.- Transforme las siguientes ecuaciones en coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

a) r = 2sen

b) r =

4
2 + sen

e) r = 2 – 2 cos

f) r2 = 4 cos 2

c) r =

5
3 – 9 cos

g) r = 9 sen 2

d) r = 2 / 3

h) r =

/2

4.- Sean los puntos A y B. Determine otra manera de escribirlos para que r > 0 y 0 <
polar y determine ladistancia entre ellos.

< 360° . Ubíquelos en un plano

a) A ( - 5 , -

/6)

/3) B(6,-7 /6)

b) A ( - 4 , - 2 /3 ) B ( - 7 ,

5.- Sean los puntos A y B en coordenadas polares, dos vértices de un triángulo equilátero. Determine las coordenadas del
tercer vértice (encuentre las dos soluciones posibles).

a) A ( 0 , 2 / 3 ) B ( 7 , 3 / 2 )

b) A ( 4 ,

) B(0,3 /2)

SERIE de CURVAS EN EL PLANO POLAR6.- Determine la ecuación polar de la recta que:

a) Tiene como punto Normal a N ( 5 ,

/3)

b) contiene al polo y una inclinación de

c) paralela al eje polar y contiene al punto P ( 4 ,

/ 7 rad

/6)

d) perpendicular al eje polar y contiene al punto P ( 7 , 3 / 4 )

7.- Determine la ecuación polar de las siguientes circunferencias:

a) Centro C ( 4 , 3 / 4 ) y radio 1

b) centro en el polo yradio 5

c) centro C ( - 4 , 0 ) y radio 4

8.- Identifique cada una de las siguientes ecuaciones polares. Si se trata de una cónica, determine su excentricidad y su
directriz. Dibuje la gráfica de todas las curvas en un plano polar.

a) r = 6

b) r =

4
1 + cos

c) r =

6
.
2 + sen

d) r = 2 / 3

e) r =

4
1 + 2 sen

f) r =

5
.
3 – 9 cos

9.- Realice la discusión completa de cada una de lassiguientes ecuaciones polares:
a) r = 4 – 4 cos

b) r = 4 – 2 cos

d) r = 6 sen2

c) r2 = 9 sen2

e) r =

/2

“ Ten cuidado con lo que deseas, se puede volver realidad ”
Confucio

SERIE de CURVAS EN EL PLANO POLAR

* Soluciones:
1a) distancia = 3.23 u. de longitud

1b) distancia = 9.24 u. de longitud

A( 6 , 60° )

A( 8 , 120° )

B( 4 , 90° )

B( 4 , 15° )
Polo

EP
Polo

EP

1c) distancia = 10.91 u.de longitud
B( 4 , 75° )

Polo

EP

A( 7 , 240° )

2a)

2c)

r2 = 9

ó

r2 =
cos2

r=3

25
- sen2

2e)

r2 + r ( 4 cos

3a)

x2 + ( y – 1 )2 = 1

ó

r=-3

=

25
cos2

- 10 sen ) + 13 = 0

2b)

2d)

2f)

r2 =
cos2

16
+ 4 sen2

4 cos

2
- 3 sen

r =

r2 + r ( 14 cos

+ 2 sen ) + 25 = 0

3b) 4x2 + 3y2 + 8y - 16= 0

3c) 72x2 – 9y2 + 90x + 25 = 0

3d) x2 + y2 = 4

3e) x4 + 2x2y2 + y4 + 4x3 + 4xy2 - 4y2= 0

3f) x4 + 2x2y2 + y4 – 4x2 + 4y2 = 0

3g) x6 + 3x4y2 + 3x2y4 + y6 - 324x2y2 = 0

3h) y = x tan 2 √ x2 + y2

2

/9

SERIE de CURVAS EN EL PLANO POLAR

4a) distancia = 3.01 u. de longitud

4b) distancia = 10.65 u. de longitud
A( 4 , 60° )

A( 5 , 60° )
B( 6 , 150° )
Polo

EP

Polo

EP

B( 7 , 210° )

5a) A( 0 , 120° ) , B( 7 , 270° )

5b) A( 4 , 180° ) , B( 0 , 270° )

C( 7 , 210° ) , D( 7 ,330° )

C( 4 , 120° ) , D( 4 , 240° )

A
C
Polo

EP

C

D

A

B
Polo

B

6a)

r =

D

5
cos (

6c)

r =

7a)

r2 - 8r cos (

7c)

r = - 8 cos

-

6b)

=

6d)

r =

7b)

r = 5

/7

/3 )

2
sen

- 3 / 4 ) + 15 = 0

-7
√2 cos

8a)
circunferencia con centro en el polo y radio 6
EP
POLO

EP

SERIE de CURVAS EN EL PLANO POLAR

8b)
e=1

parábola

V( 2 , 0 )
EP
POLO

Directriz: r =

V( 2 , 90° )

e = 1/2elipse

4
cos

8c)

EP
POLO

Directriz: r =

6
sen

V( 6 , 270° )

8d)
circunferencia con centro en el polo y radio 2 /3
EP
POLO

8e)
V( 4 , 90° )
e=2

hipérbola

V( 4/3 , 90° )
EP
POLO

Directriz: r =

2
sen

8f)
e=3
V( 5/6 , 180° )

V( 5/12 , 180° )
POLO

hipérbola

EP
Directriz: r =

- 5/9
cos

SERIE de CURVAS EN EL PLANO POLAR

9a) r = 4 – 4 cos
CARDIOIDE
Intersecciones:
EP: A( 0 , 0° ) B(...