Serie de taylor para la arctg x

Aplicar la serie de Taylor para encontrar el valor del arctg(x), hacer el cálculo del error y representar la fórmula en forma de sumatoria.
fx=arcTgxAnálisis de la curva
Dom: R

Además, el límite corresponde a:

A su vez, su derivada es:

Continuidad:
Como se puede apreciar en la gráfica de lafunción, esta es continua ya que generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, no presentasaltos en la curva, por lo tanto podemos aplicar la serie de Taylor sin ningún problema, ya que la función también es derivable
n=8fx=fx0+f'xox-xo+f''xo2!(x-xo)2+f'''(xo)3!(x-xo)3+…+fn(xo)n!(x-xo)n

fx=arcTgx f0=0
f'x=11+x2 f'0=1
f''x=-2xx2+12 f''0=0
f'''x=8x2x2+13-2x2+12f'''0=-2
f4x=-48x3x2+14+24xx2+13 f40=0
f5x=384x4x2+15-288x2x2+14+24x2+13 f50=24
f6x=3840x3x2+15-3840x5x2+16-720xx2+14 f60=0f7x=17280x2x2+15+46080x6x2+17-57600x4x2+16-720x2+14 f70=-720
f8=967680x5x2+17-403200x3x2+16-645120x7x2+18+40320xx2+15 f8x0=0


x0=0fx=11!x-0+02!(x-0)2-23!(x-0)3+04!(x-0)4+245!(x-0)5+06!(x-0)6-7207!(x-0)7
fx=x-23!(x)3+245!(x)5-7207!(x)7+…+(-1)n2n!(2n+1)!(x)2n+1fx=x-2!3!(x)3+4!5!(x)5-6!7!(x)7+…+(-1)n2n!(2n+1)!(x)2n+1

fx=x-x33+x55-x77+…+(-1)nx2n+12n+1

Cálculo del Error

En=fn+1x0n+1!(x-x0)n+1f9=9676800x4x2+17+10321920x8x2+19-1612800x2x2+16-18063360x6x2+18+40320x2+15
f90=40320
En=403209!(x)9
En=x99 En=xn+1n+1

Fórmula expresada en sumatoria.
arcTgx=n=0∞(-1)n2n+1(x)2n+1 para x<1