Serie de taylor

Diferenciación e integración de la serie de potencias
La suma de una serie de potencias es una función f(x) =n=0∞cn(x - a)n, cuyo dominio e: intervalo de convergencia de la serie. Nos gustaría poder diferenciar e integrar estas funciones, y el siguiente teorema (que no demostraremos) indica que se puede hacer esto diferenciando o integrando cada término de la serie, del mismo modo que se haríacon un polinomio. Esto se denomina diferenciación e integración término a término.
Teorema: Si la serie de potencias ∑ cn(x - a)n tiene el radio de convergencia R > 0, entonces la función f definida por:
fx= c0+ c1x-a+c2(x-a)2+…=n=0∞cn(x-a)n
Es diferenciable (y como consecuencia continua) en el intervalo (a -R, a + R), y

Los radios de convergencia de las series de potencias en lasecuaciones a) y b) son R.
NOTA 1: Las ecuaciones a) y b) se pueden volver a escribir en la forma:

Se sabe que para sumas finitas, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas y que la integral de una suma es igual a la suma de las integrales. Las ecuaciones c) y d) afirman que lo mismo es válido para sumas infinitas, siempre y cuando se trate de series de potencias.
NOTA 2: Aunque elteorema 2 establece que el radio de convergencia no cambia cuando una serie de potencias se diferencia o se integra, esto no significa que el intervalo de convergencia no se altere. Puede suceder que la serie original converja en un punto extremo, en tanto que la serie diferenciada diverja ahí.
NOTA 3: La idea de diferenciar una serie de potencias término a término es la base de un potente métodopara resolver ecuaciones diferenciales.

Ejemplo: Exprese a 1/(1-x)2 en forma de una serie de potencias, diferenciando la ecuación 1. ¿Cuál es el radio de convergencia?
Solución: Al diferenciar ambos lados de la ecuación
1(1-x)2=1+x+ x2+ x3+ …= n=0∞xn
Obtenemos
1(1-x)2=1+2x+ 3x2+ …= n=0∞nxn-1
Si se desea se puede sustituir n con n + 1 y escribir la respuesta como
1(1-x)2= n=0∞(n-1)xnSegún el teorema 2, el radio de convergencia de la serie definida es el mismo que el radio de convergencia de la serie original, a saber, R = 1.

Series binomiales
Antes de presentar la lista básica de funciones elementales, construir una serie más para una función de la forma /(A) = (1 + x)k. Esto produce la serie binomial.
EJEMPLO: Serie binomial
Hallar la serie de Maclaurin para f(x) = (1 +x)k y determinar su radio de convergencia. Asumir que k no es un entero positivo.
Solución: Mediante derivación sucesiva, se tiene que

La Cual Produce la serie

Como an+1/an puede aplicarse el criterio del cociente para concluir que el radio de convergencia es R = 1. Por tanto, la serie converge a alguna función en el intervalo (-1, 1)
Note que en el ejemplo se muestra que la serie de Taylorpara (1+x)k converge a alguna función en el intervalo (-1, 1). Sin embargo, el ejemplo no muestra que la serie realmente converge a (1+x)k. Para hacer esto, podría mostrarse que el resto Rn(x) converge a 0.
Ejemplo Hallar una serie Binomial
Hallar la serie de potencias para Fx=31+x
Solución Usando la serie binomial
(1+x)k=1+kx-k(k-1)x22!+kk-1(k-2)x33!+…
Se hace k = 1/3 y se escribe(1+x)1/3=1+x3-2x22!32+2 . 5x33!33+2 . 5 . 8x4344!+…
La cual converge para -1 ≤ x ≤ 1.
Serie de Taylor
Supongamos que f : ]a − r, a + r[ −→ R es una función infinitamente derivable. Entonces podemos calcular los polinomios de Taylor

El teorema de Taylor permite probar en determinadas circunstancias que estos polinomios son aproximaciones cada vez mejores de la función f alrededor del punto a o,equivalentemente, que la función f puede expresarse como la suma de su serie de Taylor

Sin embargo, esto sucede con menos frecuencia de lo que podría parecer. En muchos casos la serie converge a la función en un entorno del punto a mucho menor que el intervalo] a − r, a + r [ y diverge fuera de ´el sin que se pueda dar una explicación satisfactoria de por qué se interrumpe la convergencia. En...