Series de Fourier en MATLAB

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
TALLER DE CONVERGENCIA DE SERIES DE FOURIER



Es interesante examinar la convergencia de una serie de Fourier comparando la gráfica de la función con la gráfica de las sumas parciales de la serie de Fourier.
La n-ésima suma parcial de la serie de Fourier denotada es:


Usar el programa MATLAB para dibujar la gráfica de la n-ésima sumaparcial de la serie de Fourier. Ilustrar también el fenómeno de Gibbs.


1.
Para,

Solución:

Siendo una función impar continua, la serie de Fourier para esta función será de la forma:



Entonces, se procede a calcular :






Luego entonces:


Utilizando el siguiente listado de instrucciones en MATLAB, se obtuvo el gráfico para .

>> syms x
>> n=1:4;
>> f=2*x;
>>Bn=(1/pi)*eval(int(f*sin(n*x),x,-pi,pi));
>> N=4;
>> SN=dot(Bn,sin(n*x));
>> ezplot(SN,[-2*pi,2*pi]);
>> ylabel('f(x)');
>> xlabel('x');
>> title('Fig 1');
>> grid on;



Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x)=2x, para n=4.

Con un listado de instrucciones similar, se obtuvo el gráfico para
Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x)=2x,para n=8.


Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x)=2x, para n=19.

2.
Para

Solución:

Siendo una función par continua, la serie de Fourier para esta función será de la forma:



Entonces, se procede a calcular y :










Luego entonces:




Utilizando el siguiente listado de instrucciones en MATLAB, se obtuvo el gráfico para

>>syms x>>n=1:1;
>>Ao=(2/pi)*eval(int(x,x,0,pi));
>>An=(2/pi)*eval(int(x*cos(n*x),x,0,pi));
>>N=1;
>>SN=(Ao/2)+dot(An,cos(n*x));
>>ezplot(SN,[-2*pi,2*pi]);
>>ylabel('f(x)');
>>xlabel('x');
>>title('Fig 4');
>>grid on;


Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x)=|x|, para n=1.

Con un listado de instrucciones similar, se obtuvo el gráfico para
Fig. . Gráfico de lasuma parcial de la serie de Fourier de f(x)=|x|, para n=2.
Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x)=|x|, para n=3.

Observación: No hay un cambio significativo de la Fig. 5 con respecto a la Fig. 4, dado que las componentes pares de no aportan a la señal.


3.
Para,

Solución:

Siendo una función impar continua, la serie de Fourier para esta función será dela forma:



Entonces, se procede a calcular :








Luego entonces:


Utilizando el siguiente listado de instrucciones en MATLAB, se obtuvo el gráfico para

>>syms x
>>n=1:4;
>>Bn=((1/pi)*eval(int(-1*sin(n*x),x,-pi,0)))+((1/pi)*eval(int(1*sin(n*x),x,0,pi)));
>>N=4;
>>SN= dot(Bn,sin(n*x));
>>ezplot(SN,[-2*pi,2*pi]);
>>ylabel('f(x)');
>>xlabel('x');
>>title('Fig 7');>>grid on;


Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x), para n=4.


Con un listado de instrucciones similar, se obtuvo el gráfico para
Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x), para n=8.
Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x), para n=13.



4.
Para

Solución:Empleando la identidad para ángulos dobles de la función seno:



Dado que , entonces:




























Empleando la identidad para ángulos dobles de la función coseno:



Dado que , entonces:





Luego entonces:






Utilizando el siguiente listado de instrucciones en MATLAB, se obtuvo el gráfico para

>>syms x
>>n=1:5;>>f=cos(x);
>>Ao=(1/2)*eval(int(f,x,0,2));
>>An=(1/2)*eval(int(f*cos(n*pi*x/2),x,0,2));
>>Bn=(1/2)*eval(int(f*sin(n*pi*x/2),x,0,2));
>>N=5;
>>SN= (Ao/2)+dot(An,cos(n*pi*x/2))+dot(Bn,sin(n*pi*x/2));
>>ezplot(SN,[-2*pi,2*pi]);
>>ylabel('f(x)');
>>xlabel('x');
>>title('Fig 10');
>>grid on;
Fig. . Gráfico de la suma parcial de la serie de Fourier de f(x), para n=5.

Con un listado de...