series de taylor

ICB 456 Computación Aplicada
Agosto de 2014

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Escuela de Ingeniería Bioquímica

Taller 1:
Serie de Taylor
Considerando una función 𝑓 ∈ 𝐶
lafunción 𝑓, alrededor de 𝑥0 es:

𝑁+1

[𝑎,b] y un punto 𝑥0 ∈ [𝑎,b] para un 𝑥 ∈[𝑎,𝑏] la serie de Taylor de grado n de

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝛥𝑥) +

𝑓 ′′ (𝑥0 )
𝑓 𝑛 (𝑥0 )
(𝛥𝑥)2 + ⋯ +(𝛥𝑥) 𝑛 + 𝑅(𝑥)
2!
𝑛!

O de manera más compacta,
𝑛

𝑓(𝑥) = ∑

𝑓 𝑖 (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑖 + 𝑅(𝑥)
𝑖!

𝑖=0

𝑐𝑜𝑛 𝛥𝑥 = (𝑥 − 𝑥0 )
𝑅(𝑥): 𝑂(𝛥𝑥 𝑛+1 )
𝑚= 𝑛+1

Donde el término R(x) corresponde alresto que se obtiene al truncar (cortar) la serie en el n-ésimo término.
Recuerde que el error acumulado es el área entre la función y la expansión en la serie de Taylor de esa misma
función.Ejemplo: Calcule la serie de Taylor de 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) alrededor de 𝑥 = 0,5 con 3, 4 y 5 términos.
Compare su resultado con la función entre 0,1 y 2.
38
34
30
26
22
18

ln(x)

14

n=3

10

n=46

n=5

2
-2 0
-6

0,5

1

1,5

2

-10
-14

Analice las siguientes preguntas y comente con sus compañeros al respecto.
¿Qué grado de polinomio se asemeja más a la función enln(2)?
¿Qué grado se asemeja más en la vecindad de x0?

2,5

ICB 456 Computación Aplicada
Agosto de 2014

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Escuela de Ingeniería BioquímicaTaller
Desarrolle una planilla Excel similar a la vista en clase y presente una gráfica donde se observe la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) y la gráfica de la serie de Taylor de la misma función alrededor deun punto x0 (a elección) para n =
1, 2, 3, 4 y 5. Grafique en un intervalo que permita observar diferencia de las curvas graficadas.
Además, calcule el error cometido al utilizar cada una de lasseries de Taylor obtenidas. Para esto, puede utilizar
Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/) con el comando integrate((f(x)),{x,lim inf, lim sup.}).
En un cuadro de texto escriba la serie de...