Series numericas

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Curso 99/00

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Tema 6: Series numéricas
Con anterioridad vimos el concepto de sucesiones de números reales. En este capítulo, vamos a ver un concepto más general, ya que una importante aplicación de las sucesiones infinitas radica en la representación de sumas infinitas.

1. Series
Definición: Si {an } es una sucesión infinita de númerosreales, entonces:

∑
n=1

∞

an = a1 + a2 + a3 +

+a +
n

se llama una serie infinita (o simplemente una serie ). Los números a1 , a2 , serie.  Observación: Para algunas series conviene empezar el índice en n=0.

 se llaman los términos de la



Para hallar la suma de una serie infinita, consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales: S1 S2 S3 Sn = a1 = a1 + a2 = a1+ a2 + a3 = a1 + a2 + a3 +



+ a

n

Si esta sucesión converge, diremos que la serie converge y que su suma es la que se indica en la siguiente definición. Definición: Para la serie infinita

∑a
n=1

∞

n

, la n-ésima suma parcial viene dada por: S n = a1 + a2 +

 +a

n ∞

a) Si la sucesión de sumas parciales {S n } converge a un número real S, diremos que la serieconverge a S. Además, llamaremos a S suma de la serie y escribiremos:

∑a
n=1

n

∑a
n=1

∞

n

= Lim S n = S
n→∞

b) Si la sucesión {S n } diverge, diremos que la serie

∑a
n=1

∞

n

es divergente .



Javier Martínez del Castillo

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Ejemplo 1: Determinar la convergencia odivergencia de la serie

∑ ( −1)
n=1

∞

n +1

Esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales, de manera que las siguientes propiedades son consecuencia directa de sus análogos en sucesiones: Teorema: Si a)

∑
n=1

n=1 ∞

∑ an = A ,
c ⋅ an = cA

∞

∑b
n=1

∞

n

= B , y c es un número real, entonces: b)

∑ (an + bn ) =A+B
n=1

∞

c)

∑ (a
n=1

∞

n

− bn ) = A-B s

Además, si se suprimen los N primeros términos de una serie, ello no destruye su convergencia ( o su divergencia). Este es el contenido del siguiente teorema: Teorema: Para cualquier entero positivo N, las series:

∑ an
n=1

∞

y

n = N +1

∑a

∞

n

tienen el mismo carácter (las dos convergen, o ambas divergen).

s Observación: Si ambas convergen, sus sumas difieren por la suma parcial S N .

Al ir estudiando este tema, veremos que hay dos cuestiones básicas acerca de las series: ¿converge?, y si converge, ¿cuál es su suma?. No siempre son fáciles de contestar, sobre todo la segunda. Comenzaremos nuestra búsqueda de respuestas, por un sencillo teorema conocido como el criterio de condición necesaria:Teorema (Condición necesaria): Sea

∑a
n=1

∞

n

una serie. Entonces:
n→∞

Si la serie es convergente ⇒ Lim an = 0

s

Observación: El teorema no afirma que la serie

∑a
n=1

∞

n

converge si {an } tiende a 0, sino que la serie diverge si = 0 , es condición necesaria para la

{an } no converge a 0 (negación lógica). En otras palabras, el que Lim an n→∞
convergenciade la serie, pero no suficiente.  Ejemplo 2: Determinar cuales de las siguientes series son convergentes a)

∑2
n= 0

∞

n

b)

∑2
n= 0

∞

1
n

c)

∑ 2n !+ 1
n=1

∞

n!

d)

∑n
n=1

∞

10

e)

∑ 4n − 5n
n=1

∞

n2 + 3

2

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Engeneral, no son muchas las series que pueden ser estudiadas usando directamente la definición; una excepción la forman las series geométricas, cuya convergencia es fácil de estudiar, y en caso de ser convergentes, hasta se pueden sumar. Definición: La serie dada por

∑a⋅r
n =0

∞

n

= a + ar + ar 2 + ar 3 + + ar n +






con a ≠ 0

se llama serie geométrica de razón r y...