Series numéricas

SERIES NUM´ ERICAS
• Sucesiones sumables. Sumas parciales. Series num´ericas.
La definici´on de serie num´erica tiene como objeto precisar rigurosamente lo que sig-
nifica la suma de infinitos n´umeros. Dada la sucesi´on
a0, a1, a2, . . .
se trata de dar sentido a la suma infinita
1X
k=0
ak := a0 + a1 + a2 + · · ·
Esta suma es la serie asociada a la sucesi´on. Para ello se construye lasucesi´on de sumas
parciales mediante
sn := a0 + a1 + · · · + an
Cuando est´a sucesi´on tiene l´ımite, es decir cuando existe un n´umero real s tal que
lim
n!1
sn = s
se dice que la sucesi´on (an) es sumable y se escribe
a0 + a1 + a2 + · · · = s
Tambi´en se dice que la serie asociada es convergente. En caso contrario se dice que la serie
es divergente.
• La serie geom´etrica.
Dado unn´umero real r, la serie geom´etrica es
1X
k=0
rk = 1 + r + r2 + · · ·
La sucesi´on de sumas parciales de esta serie es
sn = 1 + r + · · · + rn =


1 − rn+1
1 − r
si r 6= 1
n + 1 si r = 1
Esta serie es convergente si |r| < 1, en cuyo caso se tiene
1 + r + r2 + · · · =
1
1 − r
A diferencia de lo que ocurre con esta serie, casi nunca se puede determinar con
exactitud lo que vale lasuma de una serie convergente. Ordinariamente lo ´unico que se
puede hacer es decidir acerca de si la serie es o no convergente y estimar, en el caso de
convergencia, la suma a partir de un segmento inicial de la sucesi´on de sumas parciales.
• Condici´on necesaria de convergencia de una serie.
Para que una serie sea convergente es necesario que la sucesi´on que se suma converja
hacia el 0,es decir
1X
k=0
ak convergente =⇒ lim
n!1
an = 0
Este resultado es consecuencia inmediata de pasar al l´ımite en la igualdad
an = sn − sn−1
N´otese que en el caso de la serie geom´etrica, la condici´on
lim
n!1
rn = 0
es necesaria y suficiente para la convergencia de la serie. Sin embargo, en general esta
condici´on no es suficiente; es decir existen series cuyo t´ermino general tiendea anularse
que no son convergentes. Enseguida veremos un ejemplo importante de esta posibilidad.
No obstante, la necesidad de la condici´on puede utilizarse para descartar la posibilidad
de que una serie converja; tal es el caso de la serie
1X
n=1
n − 2
2n + 1
cuyo t´ermino general tiende a 1/2 y por tanto no satisface la condici´on necesaria de con-
vergencia.
• Divergencia de la serie1X
n=1
1
n
, denominada arm´onica
La serie arm´onica es la suma de los inversos de los n´umeros enteros positivos, es decir
la serie
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·
Para ver que esta serie es divergente basta observar que
1
3
+
1
4
>
1
2
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
>
1
2
...
1
2 + 1
+ · · · +
1
2+1 >
1
2
Se cumple entonces
1 +
1
2
+

1
3
+
1
4
+ · · · +

1
2 + 1
+ · · · +
1
2+1

> 1 +
ν + 1
2
por lo que las sucesi´on de sumas parciales diverge hacia ∞. N´otese que esta serie satisface
la condici´on necesaria de convergencia.
• Series de t´erminos positivos
Cuando todos los t´erminos de la sucesi´on (an) son no negativos, la sucesi´on de sumas
parciales es mon´otona creciente, es decir si
sn := a0 + a1 + · · · + anse cumple obviamente que
s0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · ·
Puesto que una sucesi´on mon´otona creciente es convergente si y s´olo si est´a acotada, se
sigue que una serie de t´erminos no negativos es convergente si y s´olo si la sucesi´on de sus
sumas parciales est´a superiormente acotada.
N´otese que en la prueba de la divergencia de la serie arm´onica ya hemos utilizado sin
mencionarlo este criteriode convergencia de una serie de t´erminos positivos.
• Convergencia de la serie
1X
n=1
1
n2
.
Probaremos la convergencia de esta serie —que es obviamente una serie de t´erminos
positivos— comprobando que sus sumas parciales est´an acotadas superiormente. Para ello
partimos de la desigualdad evidente
1
k2 <
1
k(k − 1)
, k ≥ 2
que habida cuenta de la identidad
1
k(k − 1)
=
1
k...