series potenciales

SERIES POTENCIALES
De entre las series funcionales cabe destacar como muy importantes las que llamaremos series potenciales, a las que también se suele llamar series de potenciales o series enteras. Se denominan asi a las series funcionales de la forma:

En las que los términos son potenciales sucesivas de la variable x multiplicadas por unos coeficientes
Unageneralización inmediata de las series potenciales son las del tipo:

De las que las anteriores son un caso particular, cuando a=0
No estudiaremos estas puesto que basta hacer la sustitución y=x-a para
llevarlas a la forma anterior.

Ejemplo: Las siguientes series funcionales son series potenciales:En el campo de la convergencia de la serie potencial, es decir en el conjunto de valores que hacen convergente la serie:



Queda definida una función. Asi, si A es el campo de convergencia de la serie dada, la función definida será la:
: A R
X I=





SERIE DE POTENCIAS

Se quiere extender ahora el análisis de series el caso en que los términos de la serie son funciones de la variable x. Preste especial atención a lo que sigue, porque es la culminación del intenso trabajo de las cinco secciones precedentes. La razón principal de estudiar es que pueden usarse para representar funciones. Esto abre todo tipo deposibilidades, desde aproximar los valores de las funciones transcendentales y calcular derivadas e integrales de tales funciones, hasta estudiar las ecuaciones diferenciales. Además, definir funciones como series convergentes produce muchas nuevas funciones disponibles. De hecho muchas funciones de gran importancia en las aplicaciones (por ejemplo, las funciones de Bessel) son definidas como una serie.Se dan los primeros pasos en esta sección.
Para comenzar, considere la serie


Note que para cada x fijo, esta es una serie geométrica con r=(x-2). Recuerde que esto indica que la serie converge siempre que 1 y diverge siempre que 1.Ademas, para cada x con 1(es decir, 1 , la serie converge a



Es decir, para cada en el intervalo (1,3), se tiene


Para todos los otros valores de , laserie diverge. En la figura 8.38, se muestra una grafica de
(x)= junto con las primeras tres sumas parciales , de esta serie, donde


en el intervalo Nótese que cuando se hace mas grande, tiende a estar más cerca de para un rango más grande de valores de .






Asegúrese de que entiende lo que se observa aquí: se ha tomado una serie y se nota que es equivalente a (es decir,converge a) una función conocida en cierto intervalo. Podría preguntarse por que alguien se preocuparía porque usted pudiera hacer eso. Ciertamente, es una función perfectamente adecuada y lo que se quiere hacer con ella será definitivamente más fácil si usa la expresión algebraica que si usa la representación de la serie equivalente,
Sin embargo, imagine que beneficios se podrían obtener si tomarauna función dada(por ejemplo, una de la que no se conoce absolutamente nada) y halle una representación equivalente de la serie. Esto es precisamente lo que se va a hacer en la sección 8.7. Por ejemplo, se puede demostrar que para todo



¿A quién importa esto? Suponga que quiere calcular , ¿Cómo haría eso? Claro, usaría una calculadora. ¿Pero, no se ha preguntado alguna vez como lo hace sucalculadora? El problema es que no es una función algebraica. Es decir, no se pueden calcular sus valores usando los métodos algebraicos (es decir, la suma, la sustracción, la multiplicación, la división y las raíces ). En las próximas secciones, se empieza a explorar esta pregunta. Por el momento, digamos esto: si se tiene la representación de la serie (6.1) para , entonces para cualquier...