Series y Sucesiones

Series y sucesiones
Sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.
Una sucesión se representa como a1, a2 …, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparecees infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9,16 … La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …; que se conoce como sucesión de Fibonacci.
Entre los tipos más importantes de sucesiones se encuentran las sucesiones aritméticas (también conocidas como progresiones aritméticas), en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante; ylas sucesiones geométricas (también conocidas como progresiones geométricas), en las que la razón entre dos términos sucesivos es constante. Un ejemplo de sucesiones se encuentra al intentar calcular los intereses de un cierto capital. Si el dinero se invierte al interés simple del 8%, entonces en n años la cantidad de dinero inicial P se ha convertido en an = P + n × (0,08)P. El mismo producto(0,08)P se añade cada año, por lo que las cantidades an forman una progresión aritmética. Si el interés es compuesto, las cantidades ahorradas forman una progresión geométrica, gn = P × (0,08)n. En ambos casos, está claro que an y gn llegarán a ser mayores que cualquier número entero imaginable.
Sin embargo, los términos de una sucesión no tienen por qué crecer siempre. Por ejemplo, a medidaque n crece, la sucesión an = 1/n se acerca a 0, que es su límite; y bn = A + B/n tiende hacia A. En este tipo de sucesiones, existe un número finito L tal que, dada una tolerancia e,los valores de la sucesión difieren de L en una cantidad menor que e cuando n es lo suficientemente grande. Por ejemplo, en el caso de la sucesión 2 + (-1)n/2n, el límite es L = 2. Incluso si se toma una e tan pequeña como1/10.000, se puede comprobar que para n mayores que 5.000 la diferencia entre an y L es menor que e. El número L se denomina límite de la sucesión, y aunque algunos de los términos de la sucesión son mayores y otros menores que L, los términos finalmente se agrupan alrededor de L cada vez más cerca. Cuando una sucesión tiene un límite L, se dice que converge hacia L. Para la sucesión an, porejemplo, esto se escribe como lim an = L, que se lee “el límite de ancuando n tiende hacia infinito es L“.
El término serie designa la siguiente suma, a1 + a2 + … + an, o a1 + a2 + … + an + …, que es la suma de los términos de una sucesión. Una serie es finita o infinita dependiendo de si la correspondiente secuencia de términos es finita o infinita.
La sucesión s1 = a1, s2 = a1 + a2, s3 = a1 +a2+ a3, …,sn = a1 + a2 + … + an, …, se denomina sucesión de sumas parciales de la serie a1 + a2 + … + an + … La serie es convergente (divergente) si la sucesión de sumas parciales converge (diverge). Una serie de términos constantes es aquella en la que los términos son números; una serie funcional es aquella en la que los términos son funciones de una o más variables. Un caso especial es la serie depotencias, que es la serie a0 + a1(x - c) + a2(x - c)2 + … + an(x - c)n + …, en la que la c y la a son constantes. Para la serie de potencias, el problema es encontrar los valores de x para los que la serie es convergente. Si la serie converge para una cierta x,entonces el conjunto de todas las x para las que la serie converge es un punto o un intervalo. La teoría básica de la convergencia fue...