Señorita

Der Ereignisbaum der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Viele Menschen wünschen sich, Ereignisse vorhersagen zu können. Nur ein kleines Beispiel: "Kopf oder Zahl?" heißt es oftmals, wenn eine Münze geworfen wird.  Auf welcher der beiden Seiten die Münze landet, wisst ihr natürlich nicht. Nur eine Wahrscheinlichkeit kann angegeben werden. Es gibt zwei Seiten: Kopf oder Zahl. Somit ist dieWahrscheinlichkeit für Wappen 1/2 und für Münze auch 1/2. Und das bringt uns zum Ereignisbaum. Das Beispiel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Münze von eben zeichnen wir in einen Ereignisbaum ein. Es gibt zwei Möglichkeiten ( Wappen, Zahl ) die bei einem Wurf eintreten können, folglich gibt es zwei Pfade. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2 für Wappen und 1/2 für Zahl, diese Werte werden an die Pfadegeschrieben. Aber seht selbst:
[pic] Man kann alle Möglichkeiten, die existieren, zu einer Ergebnismenge "M" zusammenfassen. Für unseren Fall wäre diese: M = { Wappen, Zahl }. Nun interessiert natürlich, was bei einem realen Experiment tatsächlich passiert. Seht euch dazu einmal die folgende Tabelle an, welche im Anschluss erklärt wird.
Wahrscheinlichkeitsrechnung: LaplaceRegel
Klären wir zunächst den Begriff Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen. Das Zufallsexperiment gehört damit zum Gebiet derWahrscheinlichkeitsrechnung.
Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von "gleichwahrscheinlich".
 Laplace Experiment: Beispiele
Woran erkennt man nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zubeantworten und erfordert in vielen Fällen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele:
• Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit die Zahl 6 zu Würfeln. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment / Versuch.
• Eine Münze hatzwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze ist die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit "Wappen" zu werfen. Somit handelt es sich um einen Laplace Versuch.
• Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedemTeilnehmer verschieden. Somit haben wir kein Laplace Experiment.
 Man sollte versuchen solche Aufgaben mit etwas gesundem Menschenverstand anzupacken. Hat man keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kann man erst einmal von einem Laplace Experiment ausgehen.

Berechnung von Laplace VersuchenDurch Einsatz der Laplace Regel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für ein Laplace Experiment berechnen. Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ergebnisses berechnet sich nach der folgenden Formel:

Beispiel:
Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und möchten verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei dem Versuch berechnen:
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu Würfeln?
2. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 1 oder 4 zu Würfeln?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln?
Lösung:
Wir wissen, dass der Würfel sechs gleiche Seiten hat. Somit können als Ergebnis beim Würfeln die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt somit "6". Kommen wir nun zu den drei Teilaufgaben:
1. P({3})...