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Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Facultad de Matem´ticas a 8 de julio de 2010 MAT610 - EXAMEN 1. a) Sean a, b dos n´mero tales que 0 < a < b. Calule l´ u ım √ n an + bn .

n→∞

Respuesta: Tenemos que √ √ √ √ √ n n n n n bn ≤ an + bn ≤ bn + bn = 2bn = 2 b. b = √ √ n n Como l´ ım 2 = 1, se tiene que l´ ım 2bn = b y as´ por el Criterio ı, n→∞ n→∞ del Sandwich,
n→∞

l´ ım

√ nan + bn = b

b) Calcule l´ ım

arctan ( sen(x) ) − x . x→0 sen(x) − x 0 . Aplicando L’Hopital, 0 −1 cos(x) − 1 − sen2 (x) x→0 (1 + sen2 (x)) (cos(x) − 1)

Respuesta : El l´ ımite es de la formaarctan ( sen(x) ) − x l´ ım = l´ ım x→0 x→0 sen(x) − x

cos(x) 1+sen2 (x)

cos(x) − 1

= l´ ım

1 1 − cos(x) + sen2 (x) = l´ ım · l´ ım x→0 1 + sen2 (x) x→0 1 − cos(x)
1

1 − cos(x) sen2(x) + x2 x2 = l´ ım x→0 1 − cos(x) x2 1 +1 2 = 3 1 2

=

2.

a) ¿Para qu´ valores de a y b es e   1 − x2 si x ≤ −1       ax5 + bx4 − ax − b f (x) = si −1 < x < 1  x2 − 1       x2si 1≤x continua en todo R.? Respuesta : La funci´n es continua para todo x = ±1 independiente o de los valores de a y b por ser combinaci´n de funciones continuas. o Luego, s´lo hay que imponer lacontinuidad en x = 1 y en x = −1. o Como f es continua por la izquierda en x = −1 es suficiente que ax5 + bx4 − ax − b = 0. x→−1+ x2 − 1 l´ ım

x→−1+

l´ f (x) = f (−1) = 0 ım

⇔

Pero, ax5 + bx4− ax − b (ax + b) (x4 − 1) = l´ ım = l´ (ax+b) (x2 +1) = 2(b−a). ım x→−1+ x→−1 x→−1 x2 − 1 x2 − 1 l´ ım Por tanto, para que f sea continua en −1 debe tenerse que 2(b − a) = 0 ⇔ a = b.An´logamente, como f es continua por la derecha en x = 1 para que a all´ haya continuidad es suficiente que ı ax5 + bx4 − ax − b l´ ım = 1. x→1− x2 − 1

x→1−

l´ f (x) = f (1) = 1 ım

⇔

Y analizando el l´ımite como antes llegamos a que 1 = l´ (ax + b) (x2 + 1) = 2(a + b), ım
x→1

de donde conclu´ ımos que a+b = 1 . 2 1 4

De las dos condiciones obtenidas deducimos que a = b =

b) Halle la...