simplificación de circuitos

 SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS. 


4.4.1Introducción. El álgebra de circuitos es un álgebra booleana, por tanto todos los resultados obtenidos anteriormente serán válidos. En particular los teoremas y reglas relativas a simplificación de funciones booleanas se aplican en el álgebra de circuitos. 

Un método general para simplificar un circuito consiste en encontrar primero la función booleanaque representa el circuito, luego simplificar la función y finalmente dibujar el circuito de la función simplificada. 

Surgen algunos problemas o inconvenientes e la simplificación de circuitos. A veces puede ser difícil o imposible decir, sólo por la forma de la función booleana, cual de varios circuitos es le más simple. El mejor circuito puede depender del costo relativo del alumbrado y delos conmutadores requeridos. 

Si se usan solamente las leyes del álgebra booleana puede suceder que una posible simplificación pudiera ser omitida. También es posible que cierto paso sea más fácil de reconocer si se expresa en términos de una de las leyes duales en lugar de la otra; por lo anterior se sugiere otro método de simplificación que puede ser útil y es el siguiente: para simplificaruna función f se toma el dual de f y se simplifica la expresión resultante. Si se toma otra vez el dual, se obtiene de nuevo la función f pero en una forma diferente que, generalmente, será más simple que la original. 

Ejemplo 1 

Simplificar el siguiente circuito:




Solución. 

El circuito está representado por la función:
f = c b  a b' c d  c d'  a c'  a' b c'  b' c' d' . Donde: 

g = cb + ab'cd + cd'       y      h = ac' + a'bc' +b'c'd' 

Separamos la función f en dos funciones g y h. A continuación, se toma el dual de g (d(g)) y se efectúa la simplificación, una vez hecha esta, se toma nuevamente el dual para volver a la función inicial, pero ya en una forma simplificada. Análogamente se procede con la función h. 

d(g) = (c  b)(a  b' c  d)(c  d') = c  (b (a  b' d) d') 

= c  (a b d'  b b' d'  b d d') 

= c  a b d' 

= c (a  b  d'). 

Igualmente, d(h) = (a  c')(a'  b  c')(b'  c'  d') 

= c'  (a (a'  b)(b'  d')) 

= c'  a (a' b'  a' d'  b b'  b d') 

= c'  a a' b  a a' d  a b b'  a b d' 

= c'  a b d' 

h = c' (a  b  d'). 

Luego, 

f = c (a  b  d')  c' (a  b  d') 

=(c  c')(a  b  d) 

= a  b  d'. 

4.5.2 Mapas de Karnaugh. Las formas normales disyuntivas y conjuntivas son útiles para varios propósitos, tales como determinar si dos expresiones representan la misma función booleana. Para otros propósitos son a menudo engorrosas por tener mas operaciones de las necesarias. Un método para lograr definir una expresión más simple que otra es el método de los mapas de karnaugh quesimplemente son diagramas de Venn con las distintas regiones arregladas en cuadros dentro de un rectángulo. 

Para funciones de más de cinco variables, este método se vuelve muy complicado y pierde utilidad. 

A continuación se verán las diferentes clases de mapas de Karnaugh.


Mapa de una variable,





Mapa de dos variables





Mapa de tres variables 



Mapa de cuatrovariables


4.5.3 Introducción de términos en mapas de Karnaugh. Cada cuadro en un mapa de Karnaugh contiene un "1" sí el término representado en ese cuadro se encuentra en la forma normal disyuntiva de la función. La siguiente fórmula proporciona el número de "1"s que debe introducirse en los mapas de Karnaugh. 


2N-Q donde N es el número de variables de la función, Q es el número de variablesdel término. 


Ejemplo 2.
Dado f(x, y, z, w) = x' y z 'w  x y' z  y z'  x. 

El primer término de f da origen a un solo "1" porque 24-4 es igual a 1. 

El segundo término de f da origen a dos "1" porque 24-3 es igual a 2. 

El tercer términos de f da origen a cuatro "1" porque 24-2 es igual a 4. 

El cuarto término de f da origen a ocho "1" porque 24-1 es igual a 8. ...