Sinsajo

XXIII OLIMPIADA MEXICA A DE MATEMÁTICAS E GUA AJUATO EXAME DE PRÁCTICA Febrero de 2009

I STRUCCIO ES: i) Escribe tus datos en la hoja de respuestas. ii) Lee cuidadosamente cada uno de los problemas y escribe únicamente la respuesta en la hoja de respuestas. iii) Cuando termines el examen, entrega únicamente tu hoja de respuestas. iv) Solamente está permitido el uso de lápiz, sacapuntas, pluma,borrador y juego de geometría. v) Si tienes alguna pregunta sobre la redacción de algún problema del examen, levanta tu mano e indícale a tu cuidador que tienes una pregunta. vi) El examen tendrá una duración máxima de 4 horas. Cada problema vale 1 punto. vii) Los resultados de este examen se publicarán a más tardar el día 23 de Marzo en nuestra página de internet: ommgto.wordpress.com.PROBLEMAS:

Problema 1. En un partido de fútbol americano, se fallaron todos los puntos extras, de manera que los equipos sólo obtuvieron puntos mediante touchdowns que valen 6 puntos, goles de campo que valen 3 puntos y safeties que valen 2 puntos. Si el partido terminó 40 a 37, ¿Cuál es el menor número de safeties que pudieron haber ocurrido? Problema 2. Javier quiere sacar un par de calcetines de uncajón, en el que hay 10 calcetines blancos, 12 verdes, 4 rojos y 2 azules. ¿Cuál es el mínimo número de calcetines que debe sacar (sin ver) para asegurar que tendrá un par del mismo color? Problema 3. En la figura, ABDC y EFGH son dos cuadrados iguales. El área de la región sombreada es 8. ¿Cuál es el área del cuadrado ABDC? Problema 4. En una fiesta, cada persona saludó a exactamente otras trespersonas. Si hubo en total 123 saludos, ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? Problema 5. En un torneo de fútbol participan los equipos de México, El Salvador, Estados Unidos, Costa Rica, Honduras y Trinidad y Tobago. Juan, Arturo y Gonzalo apuestan sobre los resultados de los tres partidos de esta jornada. Juan asegura que ganarán Estados Unidos, México y El Salvador. Arturo pronostica unempate, y que tanto Costa Rica como El Salvador saldrán derrotados. Gonzalo asegura que Trinidad y Tobago ganará, con lo que tanto Arturo como Juan estarían equivocados en ese partido. Si Arturo y Juan están de acuerdo en el partido de México ¿Contra quién juega Trinidad y Tobago?

XXIII OLIMPIADA MEXICA A DE MATEMÁTICAS E GUA AJUATO EXAME DE PRÁCTICA Febrero de 2009

Problema 6. Encontrar unentero positivo n tal que n+109 sea múltiplo de n+28. Problema 7. ¿Cuántos caminos hay del punto A al punto B siguiendo las líneas de la figura si las direcciones permitidas son sentido esta permitido salvo veces por el mismo punto? (es decir, cualquier ) y no se permite pasar dos

Problema 8. Sean a y b dos números reales positivos, con a > b tales a+b ? que 2a 2 + 2b 2 = 5ab ¿Cuánto vale a−bProblema 9. En la figura, ABC y CDE son dos triángulos equiláteros iguales. Si el ángulo ACD mide 80º, ¿Cuánto mide el ángulo ABD?. Problema 10. En un cuadrado de 8 × 8 se hace un corte con una línea recta que lo divide en dos cuadriláteros iguales. Si los cuadriláteros tienen perímetro 26, ¿Cuál es la longitud del lado menor de los cuadriláteros? Problema 11. Alicia tiene 6 tarjetas y en cada una deellas está escrito un número entero positivo (algunos de los números pueden ser iguales entre sí). Toma 3 tarjetas y suma los números correspondientes. Al hacer esto con las 20 posibles combinaciones de 3 tarjetas, obtiene 10 veces el resultado 18, y 10 veces el resultado 16. ¿Cuáles son los números de las tarjetas? Problema 12. Se escribe en cada casilla de la pirámide un número natural mayor que1 de modo que las casillas marcadas tienen el número que se indica y el número escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas sobre las que está apoyada. ¿Qué número debe ir en la casilla marcada con un signo de interrogación?

SOLUCIO ES:
Problema 1. La respuesta es 4 safeties. Notemos que el total de puntos obtenidos entre Goles de Campo y...