Sistem Masa-Resorte-Amortiguador

Sistema Masa–Resorte–Amortiguador:
A continuaci´on estudiaremos la din´amica de un sistema compuesto por una
Masa, que se desplaza sobre una mesa lisa (i.e., sin roce) y la cual est´a unida
a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la
figura. El resorte tiene constante el´astica k y largo natural ℓ0, en tanto que el
amortiguador tiene coeficiente de roceviscoso c. Llamemos x a la posici´on de
la masa M medida desde la pared. Sobre la masa act´uan solo dos fuerzas en la
direcci´on horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del amortiguador.
Para peque˜nos desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que
ejerce el resorte sobre la masa est´a dada por
Fres = −k(x − ℓ0), (1)
en tanto que la fuerza que ejerce elamortiguador est´a dada por
Fam = −cx˙ . (2)
As´ı, la ecuaci´on de Newton para la masa M est´a dada por
Mx¨ = −k(x − ℓ0) − cx˙ . (3)
En lo que sigue estudiaremos las oscilaciones de este sistema con respecto al
equilibrio est´atico. Para ello, primero determinamos la posici´on de equilibrio
esta´tico, caracterizada por las condiciones x˙ = 0 (i.e., el sistema esta´ en reposo)
y Ftot = 0, i.e., −k(x −ℓ0) − cx˙ = 0. Imponiendo estas dos condiciones,
encontramos de inmediato que la posici´on de equilibrio est´a dada por
xeq = ℓ0. (4)
Nuestro inter´es es determinar las peque˜nas oscilaciones de la masa M con respecto
a la posici´on de equilibrio, para lo cual es conveniente hacer un cambio
de variables. As´ı, intrducimos s ≡ x − xeq = x − ℓ0. De aqu´ı obtenemos de
inmediato que x˙ = s˙ y x¨ =s¨. Reemplazando estas ecuaciones en (3) obtenemos
la siguiente ecuaci´on para la variable s(t),
Ms¨+ cs˙ + k s = 0. (5)
Esta ecuaci´on para s es una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden para
s(t).
Con el objeto de determinar la evoluci´on del sistema, no solo necesitamos
la ecuaci´on (5), sino que adem´as debemos conocer el estado inicial del sistema,
i.e., la posici´on y lavelocidad inicial de la masa M, tal como hemos enfatizado
en cap´ıtulos anteriores. En resumen, queremos determinar el comportamiento
de la solucio´n s(t) de (5) dados los valores iniciales para s(0) y s˙(0). Para
ello, usaremos la siguiente estrategia, que fue establecida por Leonardo Euler
(1706–1783) (ver, e.g., [1]). Recordemos que la funci´on exponencial et juega
un papel fundamental enc´alculo, debido a que al derivarla queda igual, i.e.,
det/dt = et. Usando la regla de la cadena, vemos as´ı mismo que dept/dt = pet y
d2ept/dt2 = p2et (si p es una constante). Siguiendo a Euler entonces, intentamos
una soluci´on de la forma
s(t) = ept (6)
1
para la ecuaci´on (5). Usando las propiedades de la funci´on exponencial que
acabamos de describir, vemos que (6) es soluci´on de (5)siempre que tengamos
(Mp2 + cp + k)ept = 0 (7)
para todo t. Como ept > 0, la condici´on anterior implica que p debe ser una
soluci´on de la ecuaci´on de segundo grado
Mp2 + cp + k = 0, (8)
cuyas soluciones est´an dadas por
p1,2 = −
c
2M ±r c2
4M2 −
k
M
. (9)
El tipo de soluciones de la ecuaci´on (8) depende de los valores relativos de los
par´ametros del sistema, M, k y c. Vamos adistingir cuatro casos, los cuales
analizaremos separadamente mas adelante:
i) c2/(4Mk) > 1: en este caso (8) tiene dos soluciones reales negativas distintas,
p1 < p2 < 0.
ii) c2/(4Mk) = 1: en este caso (8) tiene una soluci´on real negativa (repetida),
i.e., p1 = p2 < 0.
iii) c2/(4Mk) < 1: en este caso (8) tiene un par de soluciones complejas conjugadas.
Ambas tienen parte real negativa −c/(2M).iv) c = 0: en este caso (8) tiene dos solucione imaginarias conjugadas, i.e.,
p1,2 = ±ipk/M.
Salvo en el caso iii), existen pues dos soluciones distintas p1 y p2 de (8). De
este modo, usando la estrategia de Euler, hemos obtenido dos soluciones
s1(t) = ep1t,
y
s2(t) = ep2t
de la ecuaci´on diferencial (5). Como la ecuaci´on (5) es lineal, uno puede comprobar
de inmediato que cualquier...