sistema amortiguado

Universidad de la Costa
Departamento de ciencias básicas-Facultad de Ingeniería


La discusión del movimiento armónico simple en las secciones previas indica que las oscilaciones tienen amplitud constante. Sin embargo, por experiencia, sabemos que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, con una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, elmovimiento oscilatorio, es amortiguado. Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos, la descripción del movimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al caso del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (buena aproximación en muchos casos) la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente:
+2y+=0Donde y es la constante de amortiguamiento y los demás símbolos tiene el significado que se señalo anteriormente. La solución de esta ecuación tiene la forma matemática de oscilaciones amortiguadas, es decir, oscilaciones en que la amplitud decrece con el tiempo.

Ahora escribamos la ecuación dinámica de esos sistemas, donde el sistema oscilatorio interactúa con las partículas de suentorno, llamados a esos sistemas, amortiguados. La interacción es, entre partículas, por consiguiente, la transferencia (disipación) de la energía que se realiza en el proceso, es energía mecánica.

= -KX-BV= ma=

+ + =0, haciendo = y =o

Aquí, es el factorde amortiguamiento es el termino disipativo; y o es la frecuencia propia del sistema, sin amortiguamiento.
La ecuación delmovimiento amortiguado es entonces, + ox=0, que a diferencia del movimiento armónico simple (ecuación diferencial lineal incompleta), ahora es una ecuación diferencial completa.
No obstante, que éste tipo de ecuaciones, tienen varias formas de solución, el que parece ser más apropiado a nuestros intereses, tiene que ver con el uso del método que usa una ecuación característica (método deexponenciales), que reduce la ecuación diferencial a una ecuación cuadrática, en términos de la variable que redesigna los operadores diferenciales por y respectivamente, y las constantes y o; así que la ecuación diferencial se convierte en:

λ + o = 0 = [-± ]/2= -± /4-

Y podemos escribir la solución general de la ecuación diferencial como:

x(t) A+B con = -γ/2+/4- y= -γ/2/4-

o sea, x(t) 

x(t) 

Normalmente en los cursos de ecuaciones diferenciales, los matemáticos utilizan el movimiento amortiguado, como una aplicación física de esa importante herramienta matemática. En ese caso, del análisis del radical,/4- , surgen tres posibles soluciones para el sistema:

a) cuando (/4 > ), el radical es positivo, y las exponenciales sonreales, crecientes y decrecientes, no es un sistema oscilatorio (sobre amortiguado); por lo que en nuestra discusión, no es de interés.
b) Cuando (/4 = ), aquí el factor dominante es el prefactor de amortiguamiento, que es una exponencial decreciente, y el sistema se extingue en función de (amortiguamiento crítico). De ese modo, el estado de oscilación dependerá de la magnitud de .
En talescircunstancias, los sistemas podemos decir que se transfieren la energía, si se quiere, hasta abruptamente; y en tal circunstancia, pueden volverse muy atractivos, por la magnitud de sus consecuencias.
c) cuando (/4 < ), en este caso, la solución tiene un comportamiento oscilatorio, que lo podemos hacer muy importante, dependiendo de cómo sea la magnitud de la diferencia, (- /4). La fig. 3, muestratres casos típicos: a) cuando = 0 (caso ideal, movimiento armónico); b) con un amortiguamiento grande; y c) con un amortiguamiento pequeño. Éste último tiene un rango grande de aplicaciones, en diversos mecanismos, tanto para casos prácticos, como por ejemplo, controlar el abrir y cerrar puertas; y para eliminar oscilaciones perjudiciales en dispositivos mecánicos, entre otros muchos. Para tener...