Sistema de Control Optimo


ÍNDICE
Capitulo 4
Control Óptimo
4.1 Introducción
El control óptimo trata de determinar el “mejor” sistema de control empleando una técnica óptima de diseño. Esta técnica asume la formulación de una función matemática denominada la función de costo, también conocida como función de rendimiento, índice de rendimiento o índice de funcionamiento, entre otras denominaciones. El procedimientode diseño del sistema de control óptimo trata de encontrar un extremo (un mínimo o un máximo, dado el caso) de una función de costo con el propósito de determinar los parámetros óptimos de una ley de control; de allí el término óptimo.

Para aplicaciones prácticas, el vector de control u debe estar siempre acotado. Por ejemplo,


Donde cada elemento Ui es una constante determinada (elsubíndice denota la componente i del vector u). Para el caso de control acotado con mínimo gasto de energía, se puede formular:


En donde cada elemento Mi es una constante dada. En cualquier caso, el vector de control u debe satisfacer ciertas restricciones para poder ser un vector de control admisible.

En este capítulo se desarrolla el procedimiento de diseño de un sistema de control óptimocuadrática discreto, denominado así porque emplea una función de costo cuadrático de dominio discreto.

4.2 Control Óptimo Cuadrático No Estacionario

El problema del control optimo cuadrático discreto no estacionario consiste en encontrar una adecuada ley de control optima que sea capaz de trasladar la dinámica del proceso desde un estado inicial x(0) hacia un estado final deseado x(N). La fuerzade control optima u(k) se determina a partir de la minimización de una función de costo cuadrática discreta. Esta fuerza de control aplicada al proceso a controlar, provoca que dicho proceso responda en forma ´optima (o lo más cercano al ´optimo). El control óptimo cuadrático discreto se basa en la siguiente función de costo:


Donde x(k) es el vector de estado de dimensión n y u(k) es el vectorde control de dimensión r. Mientras que la matriz hermitiana semidefinida positiva S (de dimensión n × n) pondera la importancia del estado final x(N),
la matriz hermitiana semidefinida positiva Q (de dimensión n × n) pondera la importancia del vector de estado x(k), y la matriz hermitiana definida positiva R (de dimensión r × r) pondera la importancia de la señal de control u(k). La ley delcontrol ´optima a usar emplea la realimentación del vector de estado x(k) en su formulación y posee la forma siguiente:


Donde K(k) (de dimensión r×n) es la matriz de ganancia del controlador, denominada también matriz de realimentación de estados. Cuando la dinámica del sistema de control es finita, K(k) es una matriz variante en el tiempo; pero cuando dicha dinámica alcanza su estadoestacionario (es decir, cuando N → ∞), entonces K(k) se convierte en una matriz constante K. En esta ´ultima situación, estaremos frente al denominado control ´optimo en estado estacionario, y es el que usaremos en nuestras aplicaciones. Una condición necesaria para poder aplicar el control por realimentación de estados es que el proceso sea completamente controlable. Por consiguiente, será necesarioverificar dicha condición en el proceso antes de iniciar el procedimiento de diseño. El valor mínimo de la función de costo se determina de:



4.3 Control Óptimo Cuadrático Estacionario

En la sección anterior vimos que cuando la dinámica del sistema de control evoluciona en un tiempo N finito, la ganancia de realimentación de estados K(k) es una matriz variante en el tiempo. Sin embargo, cuandola dinámica del sistema de control evoluciona hasta un tiempo N infinito, la solución del control optimo cuadrático pasa a ser una solución de estado estacionario. En este caso, la ganancia K(k) se convierte en una matriz constante K. Para N infinito, el término xT (N) Sx(N) desaparece debido a que x(∞) = 0. Por consiguiente, la función de costo para el estado estacionario toma la forma...