sistema de coordenadas
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Publicado: 12 de febrero de 2015
4.1- El plano. Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano.
Un par ordenado de números reales (Xo, Yo) lo podemos representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema está constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la intersección de ellas se llama origen. En la figura el ejehorizontal es llamado eje x y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas primer, segundo, tercer, y cuarto cuadrante, denotados por I, II, III, IV respectivamente.
Como ya se ha dicho, un par ordenado de número reales (Xo,Yo) se puede representar mediante un punto P en este plano. El numero Xo se llama abscisa o coordenada X del punto y el numero Yo se conocecomo la ordenada o coordenada Y del punto. Para graficar se procede como sigue. Se localiza el numero Xp en el eje (real) X y se traza una perpendicular al eje, igual se procede con el numero Yo en el eje Y. La intersección de estas dos rectas es un punto en el plano XY y es la representación del par (Xo, Yo). Recíprocamente, se puede que cada punto P en el plano representa un par de númerosreales ordenados.
4.2- Puntos en el plano. Formula de la distancia entre dos puntos contenidos en el plano.
Distancia entre dos puntos.
A continuación se mostrará como calcular la distancia entre dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
En la figura se podrá ver como se forma un triangulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es el valor a calcular.
Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos lafórmula de distancia entre dos puntos:
4.3- Punto Medio. Ejercicios con el punto medio y formula de la distancia.
En esta sección se quiere mostrar la formula para las coordenadas Pm( Xm, Ym) del punto medio del segmento que une los puntos P1 (X1, Y1) y P (X2, Y2)
Pm está en la mitad entre P1 y P2 . Del dibujo se puede apreciar que Xm también esta en la mitad entre X1 y X2. Este resultadose puede deducir a través de la semejanza entre los triángulos P1AP2 y PmBP2.
Igualmente se puede verificar que:
Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas.
4.3- Pendiente. Angulo de inclinación, interpretación geométrica de la pendiente.
El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x. La medida del ángulo se tomaen sentido contrario a las agujas del reloj.
La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa:
La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo:
m = tan h, o lo que es lo mismo 1/tan (o tangente elevado a -1) de la pendiente es igual al ángulo h.
arco tan (de la pendiente)=ángulo
Por ejemplo, el arco cuyatangente (segmento verde) es 0,75 es de 36,87º.
El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente, esto quiere decir que si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta vale una unidad, el arco cuya tangente vale la unidad es de 45°.
Si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta es -1, esto quiere decir que la recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que formacon el eje x 135°.Como la tangente en este caso es negativa, y tiene por valor -1, el ángulo de la misma va a ser -45. Si tomo 180° y le resto 45°, obtengo el ángulo real que forma esta línea con el eje x, que es 135°.
Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera, se resta uno del otro:
Por ejemplo la distancia del punto tres al punto uno, que es igual a 3 - 1, o bien esigual a 1 - 3, en ambos casos son dos unidades la diferencia, sin tener en cuenta el signo.
En el dibujo tenemos que si restamos 3 - 0 tenemos tres unidades en equis, mientras que si restamos 0 - 1, tenemos una unidad en y, con signo negativo, lo que nos informa que la recta tiene pendiente hacia arriba a la izquierda.
Cualesquiera que sean los puntos BC, las proyecciones de ambos sobre los ejes...
Un par ordenado de números reales (Xo, Yo) lo podemos representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema está constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la intersección de ellas se llama origen. En la figura el ejehorizontal es llamado eje x y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas primer, segundo, tercer, y cuarto cuadrante, denotados por I, II, III, IV respectivamente.
Como ya se ha dicho, un par ordenado de número reales (Xo,Yo) se puede representar mediante un punto P en este plano. El numero Xo se llama abscisa o coordenada X del punto y el numero Yo se conocecomo la ordenada o coordenada Y del punto. Para graficar se procede como sigue. Se localiza el numero Xp en el eje (real) X y se traza una perpendicular al eje, igual se procede con el numero Yo en el eje Y. La intersección de estas dos rectas es un punto en el plano XY y es la representación del par (Xo, Yo). Recíprocamente, se puede que cada punto P en el plano representa un par de númerosreales ordenados.
4.2- Puntos en el plano. Formula de la distancia entre dos puntos contenidos en el plano.
Distancia entre dos puntos.
A continuación se mostrará como calcular la distancia entre dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
En la figura se podrá ver como se forma un triangulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es el valor a calcular.
Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos lafórmula de distancia entre dos puntos:
4.3- Punto Medio. Ejercicios con el punto medio y formula de la distancia.
En esta sección se quiere mostrar la formula para las coordenadas Pm( Xm, Ym) del punto medio del segmento que une los puntos P1 (X1, Y1) y P (X2, Y2)
Pm está en la mitad entre P1 y P2 . Del dibujo se puede apreciar que Xm también esta en la mitad entre X1 y X2. Este resultadose puede deducir a través de la semejanza entre los triángulos P1AP2 y PmBP2.
Igualmente se puede verificar que:
Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas.
4.3- Pendiente. Angulo de inclinación, interpretación geométrica de la pendiente.
El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x. La medida del ángulo se tomaen sentido contrario a las agujas del reloj.
La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa:
La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo:
m = tan h, o lo que es lo mismo 1/tan (o tangente elevado a -1) de la pendiente es igual al ángulo h.
arco tan (de la pendiente)=ángulo
Por ejemplo, el arco cuyatangente (segmento verde) es 0,75 es de 36,87º.
El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente, esto quiere decir que si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta vale una unidad, el arco cuya tangente vale la unidad es de 45°.
Si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta es -1, esto quiere decir que la recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que formacon el eje x 135°.Como la tangente en este caso es negativa, y tiene por valor -1, el ángulo de la misma va a ser -45. Si tomo 180° y le resto 45°, obtengo el ángulo real que forma esta línea con el eje x, que es 135°.
Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera, se resta uno del otro:
Por ejemplo la distancia del punto tres al punto uno, que es igual a 3 - 1, o bien esigual a 1 - 3, en ambos casos son dos unidades la diferencia, sin tener en cuenta el signo.
En el dibujo tenemos que si restamos 3 - 0 tenemos tres unidades en equis, mientras que si restamos 0 - 1, tenemos una unidad en y, con signo negativo, lo que nos informa que la recta tiene pendiente hacia arriba a la izquierda.
Cualesquiera que sean los puntos BC, las proyecciones de ambos sobre los ejes...
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