Sistema de Ecuaciones y Desigualdades

Sistema de ecuaciones y Desigualdades
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se planteanlas ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en lasincógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Los sistemas, según sus soluciones, se clasifican en tres grupos:
Incompatibles: los que no tienen solución realizaremos
Ejemplo: 
Compatibles determinados: los que admiten una única solución
Ejemplo: 
Compatibles indeterminados: los que admiten infinidad de soluciones
Ejemplo: 
Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemosutilizar uno de los siguientes métodos:
Sustitución 
Igualación 
Reducción
Método de sustitución:
Sea el sistema

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x
y = 11 - 3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y"colocaremos "(11 – 3x)".
5x - (11-3x) = 13
Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente
5x – 11 + 3x = 13
5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
x =
x = 3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema
y = 11 - 3x
y = 11 – 3(3)
y = 11 - 9
y = 2
Así la solución al sistema de ecuacionespropuesto será x=3 e y=2
Método de igualación:
Sea el sistema:

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones
11 - 3x = -13 + 5x
-3x -5x = -13 -11
-8x = -24
x =
x = 3
Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y
y = 11 – 3(3)
y = 11- 9
y = 2
Método de reducción:
Sea el sistema

Sumaremos miembro amiembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así no más se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:
Para este ejemplo eliminamos "y"

Y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos
y = 2
Este método sirve paracualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el número de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.
Ejemplo 1
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de unlapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.Ejemplo 2
Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1.
SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y  y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:
 de donde  y ...