Sistema De Ecuaciones

Matrices

Definición de la Cátedra.
La idea de matriz es la de un cuadro o tabla de valores:

[pic][pic]

Los significados de las filas (horizontales) y de las columnas (verticales) pueden ser distintos según el tema estudiado.

En particular un vector [pic] puede ser mirado como una matriz de una sola fila.
También es posible tener el caso de una matriz con una sola columna: [pic]
ala que consideraremos como una “matriz columna” o “vector columna”.
Eventualmente una matriz puede tener muchas filas o muchas columnas.

En algebra, como en toda la matemática, más que los ejemplos concretos importan los casos generales, o sea como trabajar con matrices cualesquiera sean las cantidades de filas y columnas y los valores en cada casillero.

Ello nos lleva a sistematizar elconcepto de matriz. Vamos a numerar las filas sucesivamente como 1, 2, 3, etc. y lo mismo vamos a hacer con las columnas.
Cada casillero quedara determinado por su número de fila (que, por ejemplo, numeraremos con la letra [pic]) y por su número de columnas (que podríamos numerar con la letra [pic]). Así [pic] será el valor hallado en la línea [pic]columna [pic] (un poco al estilo de la “batallanaval”).
En el caso de la primer matriz presentada como ejemplo si [pic] el elemento [pic]. Así como con [pic] tenemos [pic]
Si en lugar de escribir los valores de cada casillero simbolizamos toda la matriz la podríamos escribir así:
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
[pic]
O también: [pic][pic]

Una forma abreviada sería: [pic]

Pero nuestras matrices no tienenporque ser de 4 filas y 3 columnas.

Si la cantidad de filas fuera m y la cantidad de columnas n escribiríamos:

[pic]

Veremos luego otras formas alternativas de escritura para las matrices.

Vamos a ver ahora la introducción rigurosa del concepto de matriz.

Y presentaremos las matrices como un caso de función de una manera parecida a como introducimos anteriormente el concepto de n-upla.Definición rigurosa del concepto de matriz:

Vamos a suponer que los elementos de una matriz pertenecen a un determinado cuerpo [pic]. Ejemplos posibles de cuerpo [pic] serían los racionales, los reales R o los números complejos [pic].

Distintas notaciones utilizadas:

Como ejemplos de abreviaturas posibles vamos a utilizar las siguientes: (sean m, n, p números naturales).

[pic]
[pic][pic]

Las notaciones anteriores nos permitirán decir, para el caso de N, que:

[pic]
Definición de matrices: Sea [pic]un cuerpo. Diremos que una matriz A es una función:
[pic]
Observación: en la definición anterior la igualdad [pic] introduce a su vez una definición de forma de escritura.
Estamos escribiendo como [pic]al elemento del condominio de la función A que corresponde alelemento [pic] de su dominio.

Observemos que:

M x N (un producto cartesiano) es el dominio de dicha función y K su codominio K a su vez tiene una estructura de cuerpo).

Resumiendo lo visto:

La función A hace corresponder al par ordenado [pic] (o sea la posición o casillero de la tabla) el elemento [pic] (el valor escrito en el casillero).

Terminología utilizada:

Los [pic] delcondominio se dice que son los elementos de la matriz.
El primer índice [pic] se dice que es el índice de las filas y le segundo [pic] el índice de las columnas.
A veces en lugar de la notación [pic] o: [pic] se usa [pic].
Mnemotécnica: [pic]
[pic]

Distintas notaciones utilizadas para matrices:

[pic]

Cuando el rango de variación de los índices queda sobreentendidoen el contexto se lo puede omitir escribiendo [pic]
También se suele utilizar: [pic]
O la rigurosa: [pic]
Otras notaciones utilizadas: [pic]
En algunos libros se usan corchetes [pic] en lugar de paréntesis [pic]
Nos permitiremos cierta libertad en el uso de estas formas de escritura, usando unas u otras según parezca más conveniente.

Elementos de las matrices:

Filas: Los elementos...