Sistema De Ecuaciones

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Sistemas de ecuaciones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
Una ecuación lineal con dos incógnitas

x y y es una expresión de la forma ax + by = c , donde

a , b , c ∈ R y a y b son diferentes de cero.
Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitadode soluciones de la forma ( x , y ) y su
gráfica determina una recta.
Ejemplos.
1) La ecuación lineal 2 x + 4 y = 20 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (− 2 , 6 ) , (0 , 5) ,

(8,1) y (12, − 1)

2) La ecuación lineal 3 x − y = −15 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (5 , 0 ) , (− 2 , 9 ) ,

(1,18) y (− 3, 6)

Un sistema de ecuaciones es un conjunto deecuaciones que poseen incógnitas. Para indicar que varias
ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas
de dos por dos es de la forma:

x y y , también llamado ecuaciones simultáneas

a11 x + a12 y = b1 

a21 x + a22 y = b2 
donde a11 , a12 , a 21 , a 22 son coeficientes reales y b1 , b2 sontérminos independientes. En cada una de
las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero.
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surgen del planteamiento de un
problema, generalmente no tienen la forma estándar, sin embargo, debe obtenerse.
Resolver un sistema de este tipo es encontrar los pares de números x y y que satisfacen ambasecuaciones, si existen. Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas
P(x , y ) .
En un sistema de dos ecuaciones lineales:
•
•
•

Si las dos rectas que se cruzan en un punto, éste representa la solución del sistema. En este caso el
sistema es compatible determinado.
Si las dos rectas coinciden en todos sus puntos, tiene infinitas soluciones. En este caso elsistema es
compatible indeterminado.
Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto común. En este caso el sistema es
incompatible y no tiene solución.

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MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS
INCÓGNITAS
Existen cinco métodos para resolversistemas de ecuaciones:
•
•
•
•
•

Igualación
Suma y resta (eliminación)
Sustitución
Determinantes
Gráfico

MÉTODO DE IGUALACIÓN
El método de igualación consiste en realizar los siguientes pasos:
•
•
•
•

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuación lineal para la otra incógnita.
Se resuelve la ecuación lineal.Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de
la otra.
Se realiza la comprobación.

•

Ejemplos.
Aplicando el método de igualación, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

4 x − 2 y = 10

3x + 5 y = 14 

Solución.

10 + 2 y 5 + y
=
4
2
14 − 5 y
de la segunda ecuación también se despeja x : x =
3
5 + y14 − 5 y
se igualan estas dos últimas ecuaciones:
=
2
3
resolviendo para y :
3(5 + y ) = 2(14 − 5 y )
15 + 3 y = 28 − 10 y
3 y + 10 y = 28 − 15
13
13 y = 13 ⇒ y = = 1
13
De la primera ecuación se despeja

x: x =

sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita:

x=

5 +1 6
= =3
2
2

Por lo tanto: x = 3 y y = 1 . Comprobación:

4(3)− 2(1) = 12 − 2 = 10

3(3) + 5(1) = 9 + 5 = 14 

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2)

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9 x − 3 y = 18 

2 x + 8 y = −48

Solución.

18 + 3 y 6 + y
=
9
3
− 48 − 8 y
de la segunda ecuación también se despeja x : x =
= −24 − 4 y
2
6+ y
se igualan estas dos últimas ecuaciones:
=...