sistema de ecuaciones

ecuaciones lineales con dos incógnitas:
una ecuación puede escribirse en la forma ax+by:c donde los coeficientes a, b y c son números reales.
un sistema de ecuaciones lineales Sistema general[editar]
La forma genérica de un sistema de m\, ecuaciones algebraicas y n\, incógnitas es la siguiente:

(1)\left\{\begin{matrix}F_1(x_1,...,x_n)=0 \\
\vdots \\
F_m(x_1,...,x_n)=0\end{matrix}\right.donde F_1, \ldots, F_m son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo \R^n , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión F_i\, con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica[editar]
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones F_i\, en (1) son continuas atramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas[editar]
AL Sistema.svg
Un sistema de ecuaciones sobre \R^n puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto desoluciones \mathcal{S}, de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, \#\mathcal{S} \le \aleph_0.
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe unnúmero infinito de soluciones que forman una variedad continua, \#\mathcal{S}= \aleph_1.
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, \mathcal{S}= \varnothing.
Sistema lineal general[editar]
Artículo principal: Sistema de ecuaciones lineales
Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de lossistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamadaforma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:

(2)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1Y} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2Y} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{X1} & a_{X2} & \cdots & a_{XY} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_Y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\\vdots \\
b_X
\end{pmatrix}

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término a_{ij}\, representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las Y\, incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada b_i\, representa al término independiente de laecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:


\begin{pmatrix}
1 & 0 &\cdots & 0 & b_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & b_X \end{pmatrix}

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término b_i\, se corresponderá con el de la incógnita x_i\,. Si queda alguna fila del tipo \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & b_X \\\end{pmatrix}, con b_X\ne0\,, el sistema no tendrá solución.

Ejemplos:...