SISTEMA DE MASAS

Sistema Masa–Resorte–Amortiguador:
A continuaci´n estudiaremos la din´mica de un sistema compuesto por una
o
a
Masa, que se desplaza sobre una mesa lisa (i.e., sin roce) y la cual est´ unida
a
a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la
figura. El resorte tiene constante el´stica k y largo natural ℓ0 , en tanto que el
a
amortiguador tiene coeficiente deroce viscoso c. Llamemos x a la posici´n de
o
la masa M medida desde la pared. Sobre la masa act´an solo dos fuerzas en la
u
direcci´n horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del amortiguador.
o
Para peque˜os desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que
n
ejerce el resorte sobre la masa est´ dada por
a
Fres = −k(x − ℓ0 ),

(1)

en tanto que la fuerzaque ejerce el amortiguador est´ dada por
a
Fam = −cx.
˙

(2)

As´ la ecuaci´n de Newton para la masa M est´ dada por
ı,
o
a
M x = −k(x − ℓ0 ) − cx.
¨
˙

(3)

En lo que sigue estudiaremos las oscilaciones de este sistema con respecto al
equilibrio est´tico. Para ello, primero determinamos la posici´n de equilibrio
a
o
est´tico, caracterizada por las condiciones x = 0 (i.e., elsistema est´ en reposo)
a
˙
a
y Ftot = 0, i.e., −k(x − ℓ0 ) − cx = 0. Imponiendo estas dos condiciones,
˙
encontramos de inmediato que la posici´n de equilibrio est´ dada por
o
a
xeq = ℓ0 .

(4)

Nuestro inter´s es determinar las peque˜as oscilaciones de la masa M con ree
n
specto a la posici´n de equilibrio, para lo cual es conveniente hacer un cambio
o
de variables. As´intrducimos s ≡ x − xeq = x − ℓ0 . De aqu´ obtenemos de
ı,
ı
inmediato que x = s y x = s. Reemplazando estas ecuaciones en (3) obtenemos
˙
˙ ¨ ¨
la siguiente ecuaci´n para la variable s(t),
o
M s + cs + k s = 0.
¨
˙

(5)

Esta ecuaci´n para s es una ecuaci´n diferencial lineal de segundo orden para
o
o
s(t).
Con el objeto de determinar la evoluci´n del sistema, no solo necesitamos
o
laecuaci´n (5), sino que adem´s debemos conocer el estado inicial del sistema,
o
a
i.e., la posici´n y la velocidad inicial de la masa M , tal como hemos enfatizado
o
en cap´
ıtulos anteriores. En resumen, queremos determinar el comportamiento
de la soluci´n s(t) de (5) dados los valores iniciales para s(0) y s(0). Para
o
˙
ello, usaremos la siguiente estrategia, que fue establecida porLeonardo Euler
(1706–1783) (ver, e.g., [1]). Recordemos que la funci´n exponencial et juega
o
un papel fundamental en c´lculo, debido a que al derivarla queda igual, i.e.,
a
det /dt = et . Usando la regla de la cadena, vemos as´ mismo que dept /dt = pet y
ı
d2 ept /dt2 = p2 et (si p es una constante). Siguiendo a Euler entonces, intentamos
una soluci´n de la forma
o
s(t) = ept
(6)

1para la ecuaci´n (5). Usando las propiedades de la funci´n exponencial que
o
o
acabamos de describir, vemos que (6) es soluci´n de (5) siempre que tengamos
o
(M p2 + cp + k)ept = 0

(7)

para todo t. Como ept > 0, la condici´n anterior implica que p debe ser una
o
soluci´n de la ecuaci´n de segundo grado
o
o
M p2 + cp + k = 0,

(8)

cuyas soluciones est´n dadas por
a
p1,2 = −c
±
2M

c2
k
−
.
2
4M
M

(9)

El tipo de soluciones de la ecuaci´n (8) depende de los valores relativos de los
o
par´metros del sistema, M , k y c. Vamos a distingir cuatro casos, los cuales
a
analizaremos separadamente mas adelante:
i) c2 /(4M k) > 1: en este caso (8) tiene dos soluciones reales negativas distintas,
p1 < p2 < 0.
ii) c2 /(4M k) = 1: en este caso (8) tieneuna soluci´n real negativa (repetida),
o
i.e., p1 = p2 < 0.
iii) c2 /(4M k) < 1: en este caso (8) tiene un par de soluciones complejas conjugadas. Ambas tienen parte real negativa −c/(2M ).
iv) c = 0: en este caso (8) tiene dos solucione imaginarias conjugadas, i.e.,
p1,2 = ±i k/M .
Salvo en el caso iii), existen pues dos soluciones distintas p1 y p2 de (8). De
este modo, usando la...