Sistemas de resorte y masa

Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre.
El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento.
A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte enla figura, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso, o conectada a un dispositivo amortiguador.


Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre.
En mecánica, se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza estáexpresada por un múltiplo constante de dr/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:
(1)
Donde p es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento.
Al dividir la ecuación (1) por la masa m, la ecuacióndiferencial del movimiento amortiguado libre es
(2)
Donde
(3)
El símbolo 2ƛ sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda m2 + 2ƛm + w2 = 0 y las raíces correspondientes son

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de
ƛ2 – w2. Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e^(- ƛt), ƛ>0, losdesplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.
CASO 1:
Aquí, se dice que el sistema está sobre-amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, B, es grande comparado con la constante de resorte, k. La solución correspondiente de (2) es
, o bien
(4)
Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura muestra dos gráficasposibles de x(t).

CASO 2:
Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (2) es , es decir
(5)
En la figura vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistemasobre-amortiguado. También se aprecia, según la ecuación (5), que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez.

CASO 3:
Se dice que el sistema está sub-amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m1 y m2 son complejas:

Entonces, la solución general de la ecuación (2) es
(6)
Como se aprecia enla figura, el movimiento que describe (6) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente e^(- ƛt), las amplitudes de vibración tienden a cero cuando t ∞.

Ejemplo: Movimiento sobre-amortiguado.
Se comprueba fácilmente que la solución del problema de valor inicial

Es
(7)
El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobre-amortiguado de una masa unida a un resorte.La masa comienza desde una posición 1 unidad abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 1ft/s.
Para graficar x(t), se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo; esto es, el valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuación (7) se llega a, así que x’(t) = 0 implica que
De acuerdo con el criterio de la primeraderivada y con la intuición física, ~(0.157) = 1.069 ft es, en realidad, un máximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo de 1.069 ft abajo de la posición de equilibrio.
También debemos comprobar si la gráfica cruza al eje t; esto es, si la masa pasa por la posición de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuación x(t) = 0, o tiene la solución que es...