sistema de vectores coliniales

En geometría se dice que dos vectores son colineales cuando tienen la misma dirección, es decir que son vectores directores de rectas paralelas.
En la figura a la derecha, los vectores \vec u, \vecv y \vec w son colineales pues las rectas D, D' y D" son paralelas.
Si se trasladan (por un movimiento de translación) los vectores (En matemáticas los vectores son libres es decir que no tienenorigen fijo, como sucede en física cuando representan fuerzas que se aplican en un punto preciso) y se les dibuja a partir del mismo origen (O en la figura) entonces se obtienen tres vectores en unamisma línea (D en la figura), lo que da la etimología de la palabra: co + lineal.
El vector nulo \vec o tiene un papel particular, pues es colineal con cualquier otro vector del plano, lo que sejustifica intuitivamente por su representación como punto, que cabe en toda recta, mientras que los vectores no nulos sólo caben en rectas que tienen la misma dirección que el vector. De hecho, el vectornulo no tiene dirección propia.
Otra definición alternativa es la siguiente, que utiliza el producto de un número por un vector: dos vectores son colineales si uno es múltiplo del otro: existe un realk tal que \vec v = k \cdot \vec u.

En un sistemas de coordenadas, cada vector es caracterizado por sus coordenadas (dos en el plano, tres en el espacio usual, y n en el espacio vectorial dedimensión n), y la colinealidad se expresa a través de ellas:
\vec v = k \cdot \vec u \Longleftrightarrow \left \{ \begin{matrix} v_x = k \cdot u_x \\ v_y = k \cdot u_y \end{matrix} \right.
Por lotanto dos vectores son colineales si sus coordenadas son proporcionales.
En la figura a la izquierda, los vectores \vec u y \vec v lo son porque la tabla \begin{bmatrix} 15 & -10 \\ 6 & -4\end{bmatrix} es proporcional: 15 \times (-4) - 6 \times (-10) = 0. Este cálculo, la igualdad de los productos cruzados, es un caso particular de la teoría del determinante, que se generaliza a cualquier...