sistema polar

El Sistema Polar

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendríamos otra forma de definir un punto.



Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de ry el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (θ, r), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.
Se deducen las siguientes transformaciones:

De rectangulares a polares

De polares a rectangulares


Ecuaciones polares
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puedeespecificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ((θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar. Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al ejevertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata,el caracol de Pascal y el cardiode.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

1.- Circunferencia:

La ecuación general para una circunferencia con centro en (0, φ) y radio  es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia concentro en el polo y radio a, se obtiene:







2.-Línea:

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación, donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan   donde  es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (0, φ) tiene laecuación




3.-Espirales:

La espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre uno de sus extremos. La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y larotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal. La espiral fue estudiada por Arquímedes en su trabajo "Sobre Espirales" donde define la espiral diciendo: Si una línea recta dibujada en un plano gira uniformemente cualquier número de veces alrededor de un extremo fijo hasta que regresa a su posición original y si, al mismo tiempo que la línea gira, un punto se mueveuniformemente a lo largo de la línea recta comenzando en el extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano.





Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico
:


4.-Lemniscatas:

Una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:
La representación gráfica deesta ecuación genera una curva similar a. La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Su representación en Unicode es ∞
La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales...