Sistemas continuos y discretos

SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS

Objetivos:



Comprender que es un sistema continuo y un sistema discreto
Comprender que es una interconexión de sistemas

Desarrollo:
Los sistemas físicos, en su sentido más amplio, son una interconexión de
componentes, dispositivos o subsistemas. En contextos que van del
procesamiento de señales y comunicaciones a motores electromecánicos,vehículos automotores y plantas de procesos químicos, un sistema puede
considerarse como un proceso en el cual las señales de entrada son
transformadas por el sistema o provocan que éste responda de alguna forma, lo
qie da como resultado otras señales como salidas. Por ejemplo, un sistema de
alta fidelidad toma una señal de audio grabada y genera una reproducción de
dicha señal. Si el sistema de altafidelidad tiene controles de tono, podemos
cambiar la calidad en el matiz de la señal reproducida.
Sistema Continuo:
Es aquel en el cual las señales continuas de entrada son trasformadas en
señales continuas de salida. Tales sistemas serán representados gráficamente
como en la figura, donde 𝑥(𝑡) es la entrada y 𝑦(𝑡) es la salida. En forma alterna,
con frecuencia representamos la relaciónentrada-salida de un sistema continuo
mediante la notación:
𝒙(𝒕) → 𝒚(𝒕)

𝒚(𝒕)

Sistema
continuo

𝒚(𝒕)

Sistema Discreto:
De manera semejante, un sistema discreto, es aquel que transforma entradas de
tiempo discreto en salidas de tiempo discreto y será representado
simbólicamente como:
𝒙[𝒏] → 𝒚[𝒏]
𝒙[𝒏

Sistema
discreto

𝒚[𝒏]

Ejemplos:
Una de las motivaciones más importantespara el desarrollo de herramientas
generales para el análisis y diseño de sistemas es que los sistemas que
provienen de aplicaciones muy diferentes tienen descripciones matemáticas muy
similares. Para ilustrar esto, empecemos con unos ejemplos sencillos.

Ejemplo 1: Considere el circuito RC de la figura 1, si consideramos a 𝑣 𝑠 (𝑡) como
la señal de entrada y a 𝑣 𝑐 (𝑡) como la señal de salida,entonces podemos valernos
del análisis básico de circuitos para deducir una ecuación que describa la
relación entre la entrada y la salida. Especialmente, a partir de la ley de Ohm, la
corriente 𝑖(𝑡) a través del resistor es proporcional (con contente de
proporcionalidad 1⁄ 𝑅 a la caída de voltaje a través del resistor, esto es:

Figura 1: circuito RC

𝑖(𝑡) =

𝑣 𝑠 (𝑡) − 𝑣 𝑐 (𝑡)
𝑅

Demanera similar, usando la definición de la relación básica para un capacitor,
podemos relacionar 𝑖(𝑡) con la razón de cambio con el tiempo del voltaje a través
del capacitor:
𝑖(𝑡) = 𝑐

𝑑𝑣 𝑐
𝑑𝑡

Igualando los miembros derechos de las ecuaciones anteriores, obtenemos
una ecuación diferencial que describe la relación entre la entrada 𝑣 𝑠 (𝑡) y la
salida 𝑣 𝑐 (𝑡):
𝑑𝑣 𝑐 (𝑡)
1
1
+
𝑣 𝑐 (𝑡)=
𝑣 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶 𝑠

Ejemplo 2: Como un ejemplo simple de un sistema discreto, considere un
modelo sencillo para el balance de una cuenta de banco de un mes a otro.
Específicamente, si 𝑦[𝑛] denota el balance al final del mes n, y suponemos que
𝑦[𝑛] varía de un mes a otro de acuerdo con la ecuación:
𝑦[𝑛] = 10.1𝑦[𝑛 − 1] + 𝑥[𝑛]
O de manera equivalente
𝑦[𝑛] − 10.1𝑦[𝑛 − 1] = 𝑥[𝑛]
Donde𝑥[𝑛] representa el depósito neto (es decir, el depósito menos los retiros) durante
el mes n y el termino 1.01 y [n-1] representa el hecho de que acumulamos 1% de interés
de cada mes

Como muestran los ejemplos anteriores, las descripciones matemáticas de sistemas a
partir de una amplia variedad de aplicaciones a menudo tienen muchas características
en común, y es este echo el que proporciona unagran motivación para el desarrollo de
herramientas ampliamente aplicables al análisis de señales y sistemas. La clave para
llevarlo a cabo en forma exitosa es identificar las clases de sistemas que tienen dos
importantes características:
1. Los sistemas de esta clase tienen propiedades y estructuras que podemos
explorar para obtener conocimientos sobre su comportamiento y desarrollar...